引理一
$$\forall a,b,c\in\mathbb,\left\lfloor\frac\right\rfloor=\left\lfloor\frac\right\rfloor}\right\rfloor$$
略證：\begin &\frac=\left\lfloor\frac\right\rfloor+r(0\leq r<1)\\ \rightarrow &\left\lfloor\frac\right\rfloor =\left\lfloor\frac\cdot\frac\right\rfloor =\left\lfloor \frac\left(\left\lfloor\frac\right\rfloor+r\right)\right\rfloor =\left\lfloor \frac\right\rfloor} +\frac\right\rfloor =\left\lfloor \frac\right\rfloor}\right\rfloor\\ &&\square \end
引理二$$\forall n \in n, \left|\left\ \rfloor \mid d \in n \right\}\right| \leq \lfloor 2\sqrt \rfloor$$
$|v|$表示集合$v$的元素個數
略證：對於$d \leq \left \lfloor \sqrt \right \rfloor$，$\left \lfloor \frac \right \rfloor$有$\left \lfloor \sqrt \right \rfloor$種取值.
對於$d \geq \left \lfloor \sqrt \right \rfloor$，有$\left \lfloor \frac \right \rfloor \leq \left \lfloor \sqrt \right \rfloor$，也只有$\left \lfloor \sqrt \right \rfloor$種取值.
數論分塊
數論分塊的過程大概如下：考慮含有$\left \lfloor \frac \right \rfloor$的求和式子（$n$為常數）
對於任意乙個$i$($i \leq n$)，我們需要找到乙個最大的$j$($i \leq j \leq n$)，使得$\left \lfloor \frac \right \rfloor = \left \lfloor \frac \right \rfloor$.
那麼$j = \left \lfloor \frac \right \rfloor} \right \rfloor$.
略證：\begin &\left\lfloor\frac\right\rfloor \leq \frac\\ \rightarrow &\left\lfloor\frac\right\rfloor }\right\rfloor \geq \left\lfloor\frac }\right\rfloor = \left\lfloor i \right\rfloor=i \\ \rightarrow &i\leq \left\lfloor\frac\right\rfloor }\right\rfloor\\ &&\square \end
即$j = \left \lfloor \frac \right \rfloor} \right \rfloor$.
利用上述結論，我們每次以$[i,j]$為一塊，分塊求和即可.
實現快速計算$\sum \left \lfloor \frac \right \rfloor$的方法：
1for(int l = 1, r; l <= n;l = r+1)2
整除分塊（數論分塊）
乙個有 趣的問題 求 sum n lfloor frac ni rfloor n leq 10 顯然不能直接做廢話 經過一番冷靜推理暴力打表 我們發現以下性質 1.large lfloor frac ni rfloor 最多只有 2 sqrt 種取值 證明 對於 i le sqrt,只有 sqrt ...
數論 整除分塊
sum n lfloor frac rfloor 如果我們暴力求解，複雜度是 o n 的，那程式幾天也跑不完。思考一下，其實我們的瓶頸，就是出於 i 太多了。那列舉什麼量，才能讓列舉的數量變少？我們把 f x frac y lfloor f x rfloor 的圖象畫了出來。明顯地看到，在 x 比較...
牛客NC13221 數碼 整除分塊（數論分塊）
牛客nc13221 數碼 整除分塊 數論分塊 鏈結 題目描述 給定兩個整數 l 和 r 對於所有滿足1 l x r 10 9 的 x 把 x 的所有約數全部寫下來。對於每個寫下來的數，只保留最高位的那個數碼。求1 9每個數碼出現的次數。輸入描述 一行，兩個整數 l 和 r 1 l r 10 9 輸出...