網路流最大流問題

簡單來說，就是在有向網路圖中，單位時間內，從開始點到結束點能通過的最大流量

許多應用都包含了流量問題，例如，公路系統中有車輛流，控制系統中有資訊流，供水系統中有水流，金融系統中有現金流等等

1、源點：出發點。

2、匯點：結束點。

3、流：就是一條可以從源點到匯點的一條合法路徑。

4、容量：每條邊都有乙個容量(水管的最大水流容量)

5、流量：就是一條可以從源點到匯點的一條合法路徑能通過的最大數量，大小取決於這條路徑上的最小容量

6、增廣路：也就是流，一條可以從源點到匯點的一條合法路徑

7、殘量：就是剩餘容量，對於一條邊來說，殘量=容量-流量

下圖是乙個交通運輸網路，有1到6共6個結點，兩個結點間的數字代表它們之間的最大運輸能力，求結點1到結點6在單位時間內的最大運輸能力（流量）？

可以看到結點1到結點6之間有多條路徑，而所有路徑的最大流量之和正是所要求的最大流量，問題轉化為求每條路徑的最大流量，以路徑：1-3-5-6為例，結點間的運輸流量分別是10、14、21，容易想到10是這條路徑的瓶頸，所以1-3-5-6的最大執行能力是10。同時也意味著，當1-3之間達到運輸瓶頸10時，1-3這條路就不再具備運輸能力了（就可以把1-3條路從圖中去掉了，同時也要把3-5-6路徑上的運輸能力減掉10，因為已經被我們找到的第一條路徑給占用了10，這樣就有了下圖），記錄下第一條路徑的最大流量10。

下面繼續找一條路徑：1-2-5-6，它的剩餘最大流量是6。按照上面的方法去掉1-2，並把2-5-6的運輸能力減6，就有了下圖：

接下來是：1-4-6，它的剩餘最大流量是5。

接下來是：1-4-3-5-6，它的剩餘最大流量是1。

接下來是：1-4-2-5-6，它的剩餘最大流量是1。

至此結點1到6之間已經沒有通路了，把各個路徑的最大流量和加起來即是所求：10+6+5+1+1=23

當bfs找到的路徑不是最優解的時候，我們需要乙個反悔機制，返回原來狀態去選擇另一種合法路徑，所以用反向邊的概念來解決這個問題。

即每條邊(i,j)都有一條反向邊(j,i)，反向邊也同樣有它的容量及流量，且初始的流量值就是為正向邊的容量。

詳細解釋：

時間複雜度：o（n*m2）,m是邊數，n是頂點數量

注意：在讀入邊的時候，要注意重邊的情況，要用加法存邊

大佬的模板

const
int maxn = 500
;const
int inf = 0x3fffffff
;int cap[maxn][maxn];//
存邊的容量，沒有邊的初始化為0
intpath[maxn], flow[maxn];
int n;//
點的個數，編號[0,n],包括了源點和匯點。
int st, endd;//
源點和匯點
queuep;//
佇列放外面時間是262ms,放進函式裡面去之後就322ms,不懂
intbfs()}}
if (path[endd] == -1)//
即找不到匯點上去了。找不到增廣路徑了
return -1
; 
return
flow[endd];
}int
edmonds_karp()
}return
mx_flow;
}

下面這份模板用起來適用**覺不是很強，注意使用吧

int flow[205][205],cap[205][205];//
flow當前流量，cap總容量
int f[205],vis[205];//
f[i]最小殘量=cap-flow,vis[i]標記i節點的上乙個最小殘量所在的位置
int mx_flow;//
最大流量，所有增廣路最小殘量之和
void bfs(int n)//
頂點數 }
}if(f[n]==0)//
容量-流量==0，一條增廣路尋找結束
flag=1
; mx_flow+=f[n];
int pos=n;//
從匯點開始更新流量
while(!flag&&pos!=1
) }}

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模板題：

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網路流初步最大流問題

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