網路流之最大流

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一、問題引入。

有n個排水口，不同的排水口之間有m條水管連線，水一開始從源點s流出，最終到達t。每條邊（水管）都有乙個最大的流量。除了s,t外，每個排水口的流入量都要等於流出量，詢問最多能有多少水到達終點t ?

如圖所示：

（即poj 1273）

可以將問題進行如下整理：

(1)用c[e]表示每條邊最大的可能流量

(2)每條邊對應的實際流量為f[e]

(3)根據條件，可知所有的f[e]<=c[e]

(4)目標是最大化從s發出的水流量

二、問題分析：

很容易會想到貪心演算法，就是不斷地從源節點s出發尋找能到達t的路徑，能流就流，一路上對c[e]取min，流了之後將路上的c[e]減掉此次的流量mina。直到找不到路徑為止。

但是，其實這樣的演算法是不正確的。

以下是《挑戰程式競賽》中的反例。

左圖為貪心演算法執行出的結果，答案為10，但是右圖答案為11。不妨找找這兩圖流量的差來分析原因。

通過分析反例，可以發現，我們在流過某一條邊之後，可能會導致以後無法經過此邊。如左圖，s->1->2->t使得s->2->t無法走，而且還限定了s->1->3->t的流量。因此，一開始就流s->1->2->t很可能不是最優的。

因此，我們需要給每條邊乙個「反悔」的機會，要考慮到實際上某次不流這條邊的情況。

在此基礎上，增廣路演算法橫空出世。下文介紹其中的一種——ford-fulkerson演算法。

二、 ford-fulkerson演算法

我們在原先演算法的基礎上，將演算法進行如下改進:

我們給每條邊增加一條反向邊，初始上限流量為0。

如前文的貪心演算法那樣，不斷尋找s到t的路徑。某一條邊為e，反向邊為g 。每次找到一條可行路徑（流量為 res），則ans+=res，並將路徑上邊的上限流量減去res, 其相對的反向邊的上限流量加上res。直到找不到一條流量大於0的路徑，則停止演算法。

將這一演算法應用為樣例中：

很顯然，答案正確。

為何？增加反向邊的意義，其實就是給了每條邊乙個反悔的機會。比如說第一次流過了邊e，又流了一次其反向邊g，則邊的上限流量就又回到了初始狀態，相當於沒有流。每條邊都可以流，也可以反悔，就保證了演算法的正確性。

三、複雜度分析

設最大流流量為f，則最壞的時間複雜度為o（f|e|）

不過實際應用中，還是很快的。

四、 **實現

poj1273模板題源**：

#include#include#includeusing namespace std;
const int maxn=205,inf=1e7+5;
int m,n,cur,s,t,a,b,va;
int head[maxn],v[maxn];
long long ans;
struct wyy
edge[2*maxn];
void add(int from,int to,int va,int type)
int dfs(int now,int mina)
} 
h=edge[h].next;
}return 0;
}int main()
while(1)
cout<
}return 0;
}

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