$f_n = \sum_^n (-1)^i g_i \leftrightarrow g_n = \sum_^n (-1)^i f_i$
$f_n = \sum_^n g_i \leftrightarrow g_n = \sum_^n (-1)^ f_i$
$f_n = \sum_^ g_i \leftrightarrow g_n = \sum_^n (-1)^ f_i$
其實就是將其中乙個式子代入另乙個，交換一下求和順序
先將$f_j$提到前面去，就能得到下式
$$\begin
& \sum_^n (-1)^ \\
&= (-1)^j \sum_^n (-1)^i \choose } \\
&= (-1)^j \sum_^ (-1)^ \choose i} \\
&= (-1)^ (1 - 1)^ \\
&= [n==j]
\end$$
其中運用了乙個組合中的技巧：$= \choose }$
從組合意義可以理解為交換了選擇順序，先選擇$j$個再從剩下的數中除去$n-i$個
傳送門現在做到的基本都是至少/至多和恰好間的轉換
設$f[i]$為至多則可使用常用形式1：$g_n = \sum_^n (-1)^ f_i$
設$f[i]$為至少則可使用常用形式2：$g_n = \sum_^n (-1)^ f_i$
二項式反演
先從反演原理出發，假如存在兩個數列 f,g 我們知道 f n sum limits n a times g i 則 g n sum limits n b times f i 恆成立，那麼我們由 f 推出 g 的過程叫做反演。下面我們來 一下上面兩個式子恆成立的條件，將左邊帶入右邊，那麼有 begin...
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形式與多步容斥相似,公式與多步容斥類似，多步容斥公式為 a 1 cup a 2 cup.cup a n sum limits a i sum limits n 1 ig i g n sum limits n 1 if i 顯然這兩個公式是等價，也是相互推導的關係，因此我們得到了二項式反演的形式1 形...
Kings Colors 二項式反演
題目鏈結 題目大意 給定乙個n個節點的樹，給它染色並且使得相鄰節點異色。問恰好用k種顏色的染色方案數 恰好k種不是很好求，因為我們很難保證每種顏色都用到，於是我們先考慮求最多k種顏色。那麼就讓每個點和它的父親節點異色就可以了。也就是k k 1 n 1k k 1 k k 1 n 1 那麼我們令f i ...