組合數學 隔板法

隔板法在排列組合中的應用技巧

張紅兵在排列組合中，對於將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中而求裝入方法數的問題，常用隔板法。

例1. 

求方程的正整數解的個數。

［分析］將10

個球排成一排，球與球之間形成

9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成的左、中、右三部分的球數分別為x、

y、z之值（如下圖）。則隔法與解的個數之間建立了一一對立關係，故解的個數為

（個）。實際運用隔板法解題時，在確定球數、如何插隔板等問題上形成了一些技巧。下面舉例說明。

技巧一：新增球數用隔板法。

例2. 

求方程的非負整數解的個數。

［分析］

注意到x、y

、z可以為零，故上題解法中的限定「每空至多插一塊隔板」就不成立了，怎麼辦呢？只要新增三個球，給x、

y、z各乙個球。這樣原問題就轉化為求

的正整數解的個數了，故解的個數為

（個）。

［點評］

本例通過新增球數，將問題轉化為如例

1中的典型隔板法問題。

技巧二：減少球數用隔板法：

例3. 將20

個相同的小球放入編號分別為1，

2，3，

4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數不少於它的編號數，求放法總數。解法1

：先在編號1，

2，3，

4的四個盒子內分別放0，

1，2，

3個球，剩下

14個球，有

1種方法；再把剩下的球分成

4組，每組至少

1個，由例

1知方法有

（種）。解法2

：第一步先在編號1，

2，3，

4的四個盒子內分別放1，

2，3，

4個球，剩下

10個球，有

1種方法；第二步把剩下的

10個相同的球放入編號為1，

2，3，

4的盒子裡，由例

2知方法有

（種）。

［點評］

兩種解法均通過減少球數將問題轉化為例1、例

2中的典型問題。

關於例一到例二的轉化。。

因為x+y+z=3的非負整數解

1,2,0

1,0,2

2,1,0

2,0,1

0,1,2

0,2,1

0,0,3

0,3,0

3,0,0

1,1,1

一共有10種。。

然後我們給每個部分都加一。。

總和是6.。

但是其解得分布全部是正整數。。這就與6個球分成3部分的正整數解

的情況形成了一一對應。。所以我們仍然可以按照例一的情形來理解

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