luogu4430 小猴打架

假碩講了個prufer編碼和caylay公式

我為了證明prufer編碼沒用

所以用矩陣樹定理證明了caylay公式

讓我們用矩陣樹定理推一波

首先這個小猴打架最後會打成一棵樹，這棵樹是n個點的完全圖的生成樹

所以用矩陣樹定理

構建矩陣(n個點的完全圖)

這是我們的鄰接矩陣

\(\begin0&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end\)

然後是我們的度數矩陣

\(\beginn-1&0&0&\cdots&0\\0&n-1&0&\cdots&0\\0&0&n-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&n-1\end\)

所以說我們的基爾霍夫矩陣是n*n的下面矩陣：

\(\beginn-1&-1&-1&\cdots&-1\\-1&n-1&-1&\cdots&-1\\-1&-1&n-1&\cdots&-1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-1&-1&-1&\cdots&n-1\end\)

然後我們開始大力跑代數余子式

劃掉第n行第n列的元素得到乙個(n-1)*(n-1)的矩陣：

\(\beginn-1&-1&-1&\cdots&-1\\-1&n-1&-1&\cdots&-1\\-1&-1&n-1&\cdots&-1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-1&-1&-1&\cdots&n-1\end\)

注意這個矩陣是(n-1)*(n-1)的

然後對這個矩陣進行各種初等變換(初等亂搞)(以下方法參考《線性代數》)

我們先讓第一行成為所有(n-1)行的和(初等變換第三條)

\(\begin1&1&1&\cdots&1\\-1&n-1&-1&\cdots&-1\\-1&-1&n-1&\cdots&-1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-1&-1&-1&\cdots&n-1\end\)

然後讓第2~(n-1)行都加上第一行(初等變換第三條)

\(\begin1&1&1&\cdots&1\\0&n&0&\cdots&0\\0&0&n&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&n\end\)

消成了上三角矩陣（美滋滋）

所以行列式就是對角線元素相乘，有1個1，(n-2)個n

所以生成樹個數為\(n^\)

然後考慮生成樹的每一條邊

小猴打架可以按照任意的順序

所以每一種生成樹的產生順序就是他的邊的排列個數，

有\((n-1)\)條邊所以排列為\((n-1)!\)

所以最後答案是\(n^(n-1)!\)

#include using namespace std;
#define p 9999991
long long n, ans = 1;
int main()

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