CSP2019 樹的重心

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原來資料的奇怪結尾就可以拿來判斷特徵呀

太簡單就不說了。

考慮完全二叉樹怎麼做。

這裡需要注意一點，就是：\(n=262143=2^-1\) ，也就是說，資料實際上就是一棵滿二叉樹。

由於滿二叉樹具有極強的對稱性，我們不難想到這樣解決：

首先，答案一定包含 \(\frac-rt\)，其中 \(rt\) 是樹的根。

考慮根的左子樹上深度為 \(d\) （根的深度為 \(0\) ）的節點，我們可以任選乙個，計算出拆掉它和它父親之間的邊後，父親那顆子樹的貢獻\(t\)。那麼答案就應該加上 \(2^\times t\) 。右子樹同理。

這樣計算就是 \(o(n\log_2n)\) 的。

這個部分還可以推出通項公式。該方法的依據是：

1 . 每個點拆掉了它和它父親之後，它就是自己那部分的重心。

2 . 拆掉左邊的任何邊，根的右兒子一定是重心；拆掉右邊，左兒子一定是重心。

3 . 拆掉乙個葉子和它父親連的邊，根一定是重心。

然後就可以利用上述依據 \(o(n)\) 計算答案了。

為了方便，以下設 \(siz_u\) 表示 \(u\) 的子樹的大小。

首先我們需要非常重要的一點：

對於在乙個大小為 \(n\) 的樹上的點 \(u\) ，若 \(n-siz_u\le \lfloor\frac n 2\rfloor\) ，且它不是重心，那麼重心一定在 \(u\) 的重子樹內。

看起來很好理解吧？考慮簡單地說明一下。

假如 \(u\) 有 \(k\) 個重兒子，那麼每個重兒子的 \(siz\le \frac k\le \lfloor\frac n 2\rfloor\) 。那麼 \(u\) 就是重心，與假設不符，因而 \(u\) 只有乙個重兒子。

同理可以說明， \(u\) 的重兒子的大小 \(>\lfloor\frac n 2\rfloor\) 。也即是說，對於 \(u\) 的非重兒子 \(v\) ，一定有 \(siz_v<\lfloor\frac n 2\rfloor\rightarrow n - siz_v>\lfloor\frac n 2\rfloor\) 。所以重心一定在 \(u\) 的重兒子裡面。

看看我們得到了什麼？

如果 \(u\) 滿足 \(n - siz_u\le \lfloor \frac n 2\rfloor\) ，那麼：

1 .\(u\) 只有乙個重兒子。

2 .要麼 \(u\) 是重心，要麼重心在 \(u\) 的重子樹里。

3 . 如果 \(u\) 是滿足性質的最深的點，那麼 \(u\) 就是重心，且 \(u\) 的父親可能是重心。

第三條可以結合第二條推出。

也就是說：第

一、二條告訴了我們重心的明確方向，第三條告訴了我們重心的判斷標準，並且它還存在單調性。

那我們可以幹什麼了？

倍！增！呀！

以上三條直接教會我們，只要我們能處理出 \(u\) 的朝向重兒子的倍增陣列，我們就可以快速地從樹根開始求重心。

這樣我們就可以在知道倍增陣列後 \(o(\log_2n)\) 地求出重心。那麼我們只需要列舉每一條邊，維護倍增陣列並計算重心即可。由於邊原本可能是無序的，因而我們需要進行 dfs ，並中途維護資訊（本質上還是在「換根」），然後就可以倍增出重心了。

時間複雜度是 \(o(n\log_2n)\) 。

int p[maxn], pos[maxn];
int head[maxn], deg[maxn];
void dfs( const int u, const int fa )
}int main()
ll ans = 1ll * n * ( n + 1 ) / 2 - p[1];
ans += 1ll * n / 2 * ( p[2] + p[3] );
ans += 1ll * ( n / 2 + 1 ) * p[1];
//...
}

typedef long long ll;
const int maxn = 3e5 + 5, maxlog = 20;
template_t max( const _t a, const _t b )
int jump[maxn][maxlog];
int hs[maxn], phs[maxn], fath[maxn], siz[maxn];
ll ans;
void addedge( const int from, const int to )
void init( const int u )
void dfs( const int u, const int fa )
jump[u][0] = hs[u];
init( u );
}bool chk( const int u, const int all )
void calc( const int u, const int fa )
}void init()
int main()

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