#區間$dp$
題目清單：
!(#狀態設計
$1.$對於這一類問題，一般設計狀態為$dp[i][j]$，表示完成$i-j$區間的答案。
$2.$有一些奇葩的情況，可以這樣設計狀態：$dp[i][j]$表示完成$j$時，左端點為$i$，右端點為$j-1$
#狀態轉移
思想是用已經更新的小區間擴充套件到未被更新的大區間，關鍵在於如何更新，如何擴充套件
一種辦法是列舉斷點把乙個大區間劃分成小區間
另一種辦法是奇葩的倍增思想[傳送門](
有三種\(dp\)順序
\(1.\)先列舉區間長度，再列舉左端點，再列舉斷點，因為區間長度從小到大，所以子狀態一定都被更新，切忌先列舉左端點。
\(2.\)倒序列舉，即左端點(\(i\))\(n->1\)，右端點(\(j\))\(i->n\)，斷點\(i-->j\)。
\(3.\)記憶化搜尋，這樣做無需考慮列舉順序
\(4.\)倍增思想，\(dp[i-1][dp[i-1][j]]\)，見上面鏈結
一、四邊形不等式
使用範圍：區間序列\(dp\)求最小值（一定是最小值）
對於動態規劃轉移方程
dp[i][j]=min(dp[i][k],dp[k+1][j])+w(i,j);如果滿足下面兩個條件
\(1.\)區間單調性：如果對於\(\forall i \leq i'< j' \leq j,w(i',j') \leq w(i,j)\)(即小區間取值\(\leq\)大區間取值)
\(2.\)四邊形不等式：\(\forall i \leq i'< j' \leq j,w(i,j)+w(i',j')\leq w(i',j)+w(i,j')\)
即中的紅線總長\(\geq\) 藍線總長
如果\(w(i,j)\)同時滿足區間單調性和四邊形不等式，那麼\(f(i,j)\)滿足四邊形不等式
令\(s(i,j)\)為\(f(i,j)\)在取到最優解時的決策點\(k\)
那麼決策本身具有單調性，即滿足\(s(i,j)\leq s(i,j+1)\leq s(i+1,j+1)\)
用\(j\)代替\(j+1\)得到
\(s(i,j-1)\leq s(i,j)\leq s(i,j+1)\)
轉移方程變為
\(f(i,j)=min(f(i,k)+f(k+1,j))+w(i,j);\ (s(i,j-1)\leq k\leq s(i+1,j))\)
可以證明，他將時間複雜度降到了\(o(n^2)\)
什麼時候使用四邊形不等式？
只需要牢記公式
\(s(i,j-1)\leq s(i,j)\leq s(i,j+1)\)考試時可以打一張決策表看是否滿足上面式子，滿足可以使用四邊形不等式
\(1.\)序列\(dp\)有時可以使用四邊形不等式優化，但僅僅是常數優化
\(2.\)需要注意四邊形不等式僅針對求最小值的情況
題目清單：
對於這一類\(dp\)，一般設計兩維狀態，\(dp[i][j]\)表示當前節點為\(i\)，子節點或相鄰節點的狀態為\(j\)時的答案
\(1.\)樹形結構天然的\(dfs\)序保證了更新當前節點時子節點已經被更新完畢，所以就把\(dp\)過程放到\(dfs\)遍歷中即可，注意初始化。
一般每搜尋一顆子樹回溯回來就更新答案，最後在迴圈外面向上回溯前自己更新自己答案
\(2.\)當然還有種狀態轉移是需要所有相鄰節點的狀態，對於這種問題直接\(for\)迴圈列舉所有點即可，但要注意列舉順序，是否會出現狀態沒有的情況，用多維迴圈內層列舉當前點，最內層列舉相鄰點
題目清單
狀壓\(dp\)是一類非常特殊的\(dp\)，基本思想是把\(dp\)的狀態壓縮為二進位制等，以減小空間且保證轉移正確性
一般看到乙個題資料範圍是\(n<=18\)且是動態規劃，則大概率是狀壓\(dp\)
狀態設計時，一維用二進位制記錄狀態，一般在\((1左右，如果需要可以設計另一維表示當前位置，對於很多與選擇順序無關的題目這一維可以省略。
也有時候第二維可以分割為另乙個\(dp\)陣列，大大優化空間
\(1.\)位運算的使用：位運算可以提高效率且減少**複雜度
s<<=1 //左移*2
s>>=1 //右移/2
(s&(1
重點在於考慮記錄哪些狀態
一般一維列舉前乙個狀態（一般是最外層），另一維列舉轉移什麼（一般是乙個值）；少數情況第二維列舉接下來狀態，因為這樣複雜度極大，一般需要剪枝；極少數情況很毒瘤，表面上看起來只能列舉兩種狀態，但可以拆到另外乙個\(dp\)陣列，變為第一種轉移方式,比如裝箱問題，要求數量最小,可以用乙個\(dp\)記錄最後乙個箱子剩餘空間，從而\(o(sn)\)轉移，不過要注意輔助\(dp\)陣列被更新的前提是正常\(dp\)陣列能被更新，是乙個依賴關係，也就是在保證第一答案最優時第二答案最優，這樣是對的
傳送門\(3.\)優化問題
\((1)\)很多無用狀態可以不列舉，比如炮兵陣地問題，可以預處理每一行的合法情況裝進\(vector\)，\(dp\)時只需要列舉這些情況，大大降低複雜度。
\((2)\)還有一類問題：憤怒的小鳥，在所有已有狀態中列舉找到乙個值，再列舉不在狀態中的值，複雜度是\(o(n^2)\)，但最優解與選擇順序無關，所以可以控制每次選擇最小位置更新，複雜度\(o(n)\)
\((3)\)對於區間、字串操作，可以壓縮狀態後連邊，跑最短路求解
\((4)\)與考慮順序無關的\(dp\)可以優化掉一維，只與附近固定位置有關，可以使用滾動陣列優化
一定要小心mle!!!!!
題目清單（做的比較少）
一般資料範圍為\(10^\)
通常使用多維，每維規模比較小。
如\(dp[i][j][k][0/1]\)表示當前在第\(i\)位（從最低位到最高位編號），當前位置是\(j\)，附近位置的狀態是\(k\)，是否滿足題目要求條件時的方案數（一般記憶化搜尋\(k\)表示前面狀態,遞推\(dp\ k\)表示後面狀態，記憶化搜尋還需要記錄是否小於邊界）
數字\(dp\)一般有兩種做法：\(1.\)遞推計數,\(2.\)記憶化搜尋，兩者的核心思想：逼近法，逐位確定是一樣的
繼續回到狀態轉移上
對於遞推計數的方法，首先要預處理\(dp\)陣列（本身是數字\(dp\)），再按照逼近法計數，狀態多的時候預處理會很麻煩，需要邊界\(+1\)
對於記憶化搜尋，只需要邊搜尋邊記錄\(dp\)陣列即可，對於這種方法，狀態轉移比較簡單，碼量小，比較容易思考，邊界不需要提前\(+1\)
\(1.\)遞推計數預處理時有時可以用字首和等等方法優化
\(2.\)初始值為\(-1\)時，小心陣列下標越界
\(3.\)看好題目範圍中是否包含\(0\)
\(4.\)前導零情況單獨處理
（CSP2019模擬）閱讀
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