眾所周知，快速排序的時間複雜度為\(o(n\textn)\)。雖然對此很容易直觀理解，但由於演算法的隨機特性，這一時間複雜度的嚴格證明並非顯然的。我將在這裡說明如何計算快速排序執行過程中的比較次數的期望，以此得到對時間複雜度的較為嚴謹的證明。
定義\(e(n)\)為對長度為\(n\)的陣列進行排序所需要的期望比較次數。考慮演算法的劃分過程，由於基準元素選擇的隨機性，每一種劃分結果的可能性是相等的。對每種情況下的比較次數取平均值，即可得到下面的遞推式：$$e(n)=\frac\sum_^ \left [e(k)+e(n-k)+n \right ]$$變數\(k\)列舉了不同的劃分情況，\(n\)表示劃分過程中的比較次數。\(e(0)=e(1)=0\)，因為空陣列或只有乙個元素的陣列不需要比較。
得出遞推式後，剩下的就是數學推導了qwq
首先，我們注意到方括號裡的\(n\)可以從求和符號裡提取出來，而另外兩項是對稱的。於是等式可以改寫成下面的形式：
\[e(n)=n+\frac\sum_^ e(k)
\]等式中包含太多項。注意右側的字首求和形式，我們可以定義字首和\(s(n)=\sum_^ e(k)\)。等式再度簡化：
\[s(n)-s(n-1)=n+\fracs(n-1)
\]\[s(n)=n+\fracs(n-1)
\]等號兩邊同時除以\(n(n+1)\)，得到
\[\frac=\frac+\frac
\]再做個換元，令
\[t(n)=\frac
\]局面頓時明了起來：
\[t(n)=t(n-1)+\frac
\]反覆運用這一遞推式得到
\[t(n)=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac+\frac
\]這就是我們很熟悉的東西啦。讓我們把調和級數的前\(n\)項和記作\(h_n\)，\(t(n)\)就可以寫成這樣的形式：
\[t(n)=h_-\frac
\]接下來事情就順理成章了：
\[\begin
&s(n)=n(n+1)t(n)=n(n+1)\left(h_-\frac\right) \notag
\\&e(n)=s(n)-s(n-1)\notag
\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\:=n[(n+1)h_-(n-1)h_n-3]\notag
\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\:=n(\frac+h_+h_n-3)\notag
\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\:=n\left[\frac+(h_+\frac)+h_n-3\right]\notag
\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\:=2n(h_n-1)\notag
\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\:=2n\left[\int_^\fracdx+o(1)\right]\notag
\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\:=2n\left[\textn+o(1)\right]\notag
\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\:=o(n\textn)\notag
\end\]
\(q.e.d.\;\;\;\;\;(\text)\)
快速排序的時間複雜度與空間複雜度
我理解的是，快速排序用的是分治法，運用的遞迴的演算法，先挑選乙個基準值，小於基準值的數放在左邊，大於基準值的數放在基準值的右邊，這樣就涇渭分明的三塊 但是這三塊是有序的，基準值左邊右邊的內 部數是無序的，所以，將基準值左右兩端繼續進行快速排序，直到區間長度為1，排序就完成了。下面使用vs2013實現...
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