零：基礎知識
常見函式的導數：
\[(\log_a x)' = \frac 1 \\
(a^x) = a^x \ln a \\
(\tan x)' = \sec^2 x \\
(\cot x)' = -\csc^2 x \\
(\sec x)' = \sec x \tan x \\
(\csc x)' = - \csc x \cot x \\
(\arcsin x)' = \frac 1 } \\
(\arccos x)' = - \frac 1 } \\
(\arctan x)' = \frac 1 \\
(\mathrm x)' = - \frac 1
\]泰勒展開：
\[e^x = \sum_^\frac \\
f(x)=\sum_^\infty \frac(x_0)\cdot(x-x_0)^k}
\]第一章：隨機事件與概率
概率空間：\((\omega,f,p)\)
\[p(a - b) = p(a) - p(ab) \\
p(a + b) = p(a) + p(b) - p(ab) \\
古典概型：p(a) = \frac m n \\
幾何概型：p(a) = \frac \\
條件概率：p(a|b) = \frac \\
\]事件的獨立性
第二章：隨機變數及其概率分布
分布律：
離散：p
連續：f
二項分布：
n重伯努利試驗，事件發生k次的概率為：
\[x\sim b(n,p)\\
p_k = p(x = k) = c_n^k p^k (1 - p)^=b(k;n,p), k=0,1,...,n \\
\]泊松分布：
\[x\sim p(\lambda) \\
p(x=k)=e^\frac=p(k; \lambda), \lambda >0, k=0,1,...
\]當 n 很大\((n\ge20)\)，p 很小\((p\le0.05)\)時，可用泊松分布模擬，即
\]指數分布：
\[f(x) = \lambda e^i_(x))
\]正態分佈：
\[f(x) = \frac\sigma}e^}\\
x\sim n(\mu, \sigma^2) \rightarrow \frac\sigma \sim n(0, 1)
\]正態分佈具有獨立可加性
第三章：多為隨機變數及其概率分布
x、y獨立，即：
\[f(x,y)=f_x(x)f_y(y)
\]泊松分布與正態分佈的再生性
卷積公式：
\[若x,y相互獨立，則z=x+y有：\\
f_z(z)=\int_^\infty f_x(x)f_y(z-x)
\]隨機變數最值的分布
第四章：隨機變數的數字特徵
期望與方差：
期望的存在性：
\[離散：\sum_|x_k|p_k<\infty時存在\\
連續：\int_^\infty|x|f(x)dx<\infty 時存在
\]隨機變數的函式的期望：
\[y=g(x)\\
e(y)=\int_^\infty g(x)f(x)dx
\]均勻分布中數學期望的幾何意義
方差：\[d(x)=e\=\int_^\infty[x-e(x)]^2f(x)dx\\
=e[x^2-2e(x)x+e(x)^2]=e(x^2)-e(x)^2
\]方差的性質：
\[d(cx)=c^2x\\
d(x\pm y)=d(x)+d(y)\pm 2e\=d(x)+d(y)\pm 2cov(x,y)\\
xy獨立時：d(x\pm y)=d(x)+d(y)
\]切比雪夫不等式：
\[p[|x-e(x)|\ge\epsilon]\le\frac
\]協方差：
\[cov(x,y)=e\=e(xy)-e(x)e(y)
\]協方差的性質：
\[cov(ax, by)=abcov(x,y)\\
cov(x_1+x_2,y)=cov(x_1,y)+cov(x_2,y)
\]\[\rho_=\frac}
\]第五章：概率極限定理
中心極限定理：
\[若x_1,x_2,...,x_n獨立同分布，且e(x_k)=\mu,d(x_k)=\sigma^2(k=0,1,,...,n)\\
則有\sum_^n x_k \frac\sim n(n\mu,n\sigma^2)
\]對於x服從兩點分布的情況，我們有
\[若p(x_k=1)=p\\
則\sum_n x_k\frac\sim n(np,np(1-p))\\
即\frac}\frac\sim n(0,1)
\]第六章：數理統計的基本概念
總體：全部可能觀察值x
簡單隨機樣本：\(x_1,x_2,...,x_n\)
樣本值：\(x_1,x_2,...,x_n\)
統計量：\(g(x_1,x_2,...,x_n)\)（乙個不含未知引數的簡單隨機樣本的函式）
\[樣本方差：s^2=\frac 1 \sum_^n(x_i-\overline)^2 \\
樣本k階原點矩：a_k=\frac 1 n\sum_^nx_i^k \\
樣本k階中心矩：b_k=\frac 1 n\sum_^n(x_i-\overline x)^k
\]\(\chi^2\)分布：
\[x_1,x_2,...,x_n\sim n(0,1)\\
\chi^2=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\sim \chi^2(n)
\]性質：
\[若\chi_1^2\sim \chi^2(n_1)，\chi_2^2\sim \chi^2(n_2)，且\chi_1^2與\chi_2^2獨立，則\chi_1^2+\chi_2^2\sim \chi^2(n_1+n_2) \\
若\chi^2\sim \chi^2(n)，則e(\chi^2)=n，d(\chi^2)=2n
\]t分布：
\[設x\sim n(0,1), y\sim \chi^2(n)，且x，y獨立，則\\
t=\frac x }\sim t(n)
\]當\(n\to\infty\)時，t分布與正態分佈相似；
關於y軸對稱
f分布\[u\sim \chi^2(n_1), v\sim \chi^2(n_2), u與v相互獨立，則\\
f=\frac\sim f(n1, n2)
\]正態總體樣本的平均值和方差的性質：
\[設x_1,x_2,...,x_n是來自正態總體n(\mu,\sigma^2)的樣本，\overline x和s^2分別是樣本均值和方差，則有：\\
\overline x \sim n(\mu,\fracn)（重要）\\
\frac\sim \chi^2(n-1)即\frac\sim \chi^2(n-1)（重要）\\
\overline x與s^2獨立\\
\frac}\sim t(n-1)
\]第七章 引數估計
\(\hat(x_1,x_2,...,x_n):\theta 的估計量（本質上是乙個統計量）\)
\(\hat(x_1,x_2,...,x_n)=\hat:\theta的估計值\)
矩估計：
\[總體k階矩：\mu_k=e(x^k)，含有引數\theta\\
樣本k階矩：a_k=\frac 1 n \sum_^nx_k\\
令\mu_k=a_k，解方程即可
\]最大似然估計：
解方程使得\(l(\theta)=p(x_1=x_1,x_2=x_2,...,x_n=x_n)\)取得最大值
即\[l(\theta)=\prod_^n p(x_i=x_i)或\prod_^n f(x_i)取得最大值
\]解法：取對數後求導
\(\hat的無偏性：e(\hat)=\theta\)，指示估計量是否均勻分布在實際值兩側
方法：寫出\(e(\hat)\)與\(x_i\)的關係式；寫出\(\theta\)與x的關係式；判斷是否相等
假設檢驗
\(\sigma^2\)未知時關於\(\mu\)的檢驗：
\[檢驗統計量：\frac} \\
拒絕域：w=(n-1)}, 假設\mu=\mu_0\\
w=, 假設\mu \le \mu_0
\]當樣本觀測值落入拒絕域中時，認為假設不成立。
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