設函式 $f(x)$ 在區間 $i$ 上有定義，在 $i$ 內任取兩點 $x_,x_$，對任意的 $\lambda \in (0,1)$，有 $\lambda x_ + (1-\lambda )x_ \in (x_,x_)$。
$a_$ 點座標 $(x_,f(x_))$，$a_$ 點座標 $(x_,f(x_))$，$a$ 點座標 $(x,f(x))$，於是可以求得
$$y_ = \frac-x}-x_}f(x_) + \frac}-x_}f(x_)$$
令 $\lambda = \frac-x}-x_}$，則
$$y_ = \lambda f(x_) + (1-\lambda )f(x_)$$
易推出$$x = \lambda x_ + (1-\lambda )x_$$
結合影象有
$$y_ < y_$$
所以$$f(x) \leq \frac-x}-x_}f(x_) + \frac}-x_}f(x_)$$
即$$f[\lambda x_ + (1-\lambda )x_] \leq \lambda f(x_) + (1-\lambda )f(x_),\lambda \in (0,1)$$
當 $x_ \rightarrow x_$，上式等號成立。
滿足這個性質的函式稱為凹函式，凸函式的定義與此類似，不在贅述。
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