1. 偏導數
偏導數
$\neq$
偏導函式。
偏導數是偏導函式在某點的函式值
在點 $(x_,y_)$ 處對 $x$ 和 $y$ 的偏導數分別為
$$f_^(x_,y_) = \lim_\frac + \delta x, y_) - f(x_, y_)} = \fracf(x,y_)|_}$$
$$f_^(x_,y_) = \lim_\frac, y_+ \delta y) - f(x_, y_)} = \fracf(x_,y)|_}$$
將 $x_,y_$ 泛化，可得偏導函式：
$$f_^(x, y) = \lim_\frac = \frac$$
$$f_^(x, y) = \lim_\frac = \frac$$
偏導函式是二元函式，在求的過程中，將另一維的變數當作常量，然後根據一元函式導函式求法來求偏導函式。
比如二元函式固定 $y$，
只讓 $x$ 單
獨變化，
從而看成是關於 $x$ 的一元函式的變化來研究。
雖然求偏導函式的時候將另一維變數當成常量，但其本身也是乙個變數，所以將 $d$ 變成 $\partial$，表示多元函式求偏導。不同於一元，$\partial$ 沒有微分的含義，
只是乙個記號，$\partial$ 或 $d$ 和其後面跟的變數是可分離的。
注意：$f_^$ 並不是代表對 $x$ 求偏導，而是相當於 $f_^$，由於不是復合函式，所以間接認為是對變數 $x$ 求偏導。
求某點偏導數的方法：
1）將該點代入偏導函式，可直接計算得到函式值
2）既然另一維變數在求偏導的過程中是看作常量的，則可將另一維變數值直接代入原函式，然後根據一元函式導數求法來求。
偏導數的幾何意義是曲線在某點的切線斜率，這個曲線是二元函式圖形張成的曲面與平面 $x = x_$或平面 $y = y_$的交線。
偏導函式就是所有這樣的曲線的導函式所組成的曲面。可以想象：每條曲線位於每個不同的平面內，互不干擾，它們的導函式自然也位於自己所在
的平面內，
互不干擾，然後每個平面上的導函式曲線的組合就會構成偏導函式的曲面。
但是由於曲面上一點的切線有無數條(實際上是個切面)，每乙個切線都代表乙個變化的方向，每個切線的斜率都代表乙個方向的變化率。
但是如果我們想求任意一條曲線切線斜率怎麼辦呢?這時候就引入了方向導數。
理解一下這個方向的含義：對 $x$ 或 $y$ 的偏導數其實是對 $x$ 軸方向或 $y$ 軸方向的偏導數，所以這個方向並不是切線方向，而是切線方向
在 $xoy$ 平面上投影後形成的射線方向，平面上射線方向和空間切線方向一一對應。也可以說：方向指的是 $xy$ 平面上的乙個向量。
方向導數定義：設函式 $f(x,y)$ 在平面上任意一點 $p(x,y)$ 的鄰域內有定義，自 $p$ 點引出一條射線 $l$，這個射線是空間中對應的切線方向
在 $xoy$ 平面上的投影，
在 $l$ 上取一點 $(x + \delta x, y + \delta y)$，
設該點到 $p$ 的距離為 $\rho$，則 $\rho = \sqrt + (\delta y)^}$，若極限
$$\lim_\frac$$
存在，則稱此極限值為 $f(x,y)$
在點 $p$ 沿方向 $l$ 的
方向導數，記為 $\frac $。
設 $l$ 與 $x$ 軸的夾角為 $\alpha$，則方向導數也可以寫成
由影象可知
$$\cos \alpha = \frac= \frac + (\delta y)^}}$$
$$\sin \alpha = \frac= \frac + (\delta y)^}}$$
要使任意方向的導數都存在，則函式在該點必須可微，根據增量表示式
$$f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y) = a\cdot \delta x + b\cdot \delta y + o(\rho )$$
兩邊同時除以 $\rho$，並取極限，可得
$$\frac = \frac\cos \alpha + \frac\sin \alpha = (\frac, \frac) \cdot (\cos \alpha,\sin \alpha)$$
注：上述結果也可以通過洛必達法則來得到。
梯度：它是乙個方向向量，是函式在某點無數個變化方向中變化最快的那個方向，也是方向導數最大的方向。通過上式可以發現，只要每乙個
變數都沿著關於這個變數的偏導所指定的方向來變化，函式的整體變化就能達到最快(變化的絕對值最大)，梯度記為
$$gradz = (\frac,\frac)$$
注：因為梯度是正的最大值，所以梯度方向一定是函式上公升的方向。
2. 全微分
先來看看
一元微分給了我們什麼啟示：
1）微分得是「直」的（這樣才能「代曲」），一元是直線，二元只能是平面。
2）微分和切線有關，一元微分就是切線，二元微分是由無數條切線張成的切平面。
所以要使二元的函式能夠微分，則每個點所有方向的切線必須都存在，並且都在乙個平面，也叫切平面，這個微分可以提供對曲面很好的「線性近似」。
「線性逼近，以直代曲」是微積分的精髓所在。下面我們來看下全微分的定義。
函式 $z=f(x, y)$ 在點 $(x, y)$ 處的全增量為
$$\delta z = f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y)$$
如果全增量可以表示為
$$\delta z = f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y) = a\cdot \delta x + b\cdot \delta y + o(\rho ),\; \rho = \sqrt + (\delta y)^} \; and \; \rho \rightarrow 0$$
其中 $a,b$ 不依賴於 $\delta x,\delta y$，只與 $x,y$ 有關，則稱函式 $z=f(x, y)$ 在點 $(x, y)$ 處可微，全微分記為
$$dz = a\cdot \delta x + b\cdot \delta y$$
那這個 $a$ 和 $b$ 如何計算呢？
$$f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y) = a\cdot \delta x + b\cdot \delta y + o(\rho ) \\
let \; \delta y = 0 \\
f(x+\delta x,y) - f(x,y) = a\cdot \delta x + o(|\delta x|) \\
both \; sizes \; divedes \; \delta x \\
a = \frac$$
同理： $b = \frac$，又無窮小時 $\delta x = dx,\; \delta y = dy$，所以全微分為
全微分 偏導數 方向導數 梯度 全導數
就是對某一變數求導，把其他變數作為常數 可以認為偏導數是特殊的方向導數，是在自變數方向上的方向導數。任意方向導數為 方向導數是為了求函式值在某個點沿某個方向的變化率 梯度則是為了求函式值在某個點處變化率最大的方向，梯度由各個軸的偏導函式組成 全導數本質上就是一元函式的導數。他是針對復合函式而言的定義...
偏導數與全導數的關係 以及 偏微分與全微分的關係
代數意義 偏導數是對乙個變數求導,另乙個變數當做數 對x求偏導的話y就看作乙個數,描述的是x方向上的變化率 對y求偏導的話x就看作乙個數,描述的是y方向上的變化率 幾何意義 對x求偏導是曲面z f x,y 在x方向上的切線 對y求偏導是曲面z f x,y 在x方向上的切線 這裡在補充點.就是因為偏導...
偏導數的應用
2.幾何應用 3.多元函式極值 4.多元函式最值 5.條件極值 二元函式 設 f x,y 在 x0,y0 鄰域內具有連續偏導數，且 f x0,y0 0，fy x0,y0 0 則 f x，y 0在點 x0,y0 鄰域內可確定唯一的函式 y y x 滿足 f x,y x 0，y0 y x0 且 在求f對...