偏導數的應用

2. 幾何應用

3. 多元函式極值

4. 多元函式最值

5. 條件極值

①二元函式

設

f(x, y) 在 (x0, y0) 鄰域內具有連續偏導數，

且 f(x0, y0) = 0，fy(x0, y0) ≠ 0；

則

f(x，y) = 0在點(x0, y0)鄰域內可確定唯一的函式 y = y(x)，滿足 f(x, y(x)) = 0，y0 = y(x0)，

且

在求f對x的偏導數時，不用考慮y關於x的隱函式，在證明時已經考慮到。

②三元函式

設

f(x, y, z) 在 (x0， y0，z0) 鄰域內具有連續偏導數，

且 f(x0, y0, z0) = 0，fz(x0, y0, z0) ≠ 0；

則

f(x, y, z) = 0在點(x0, y0, z0)鄰域內可確定唯一的連續且具有連續偏導數的函式 z = z(x, y)，滿足 f(x, y, z(x, y)) = 0，z0 = z(x0, y0)，

且

在求f的偏導數時同理，不用管隱函式的鏈式求導。

三元方程組

把y和z看做關於x的函式

四元方程組

一般的法向量（ fx，fy，fz ）

向上的法向量（ -zx，-zy，1 ）

向下的法向量（ zx，zy，-1 ）

（1）前提：

f（x，y）在p0（x0，y0）的鄰域內連續，在取信鄰域內可微。

（2）判斷條件：

①. 對鄰域內任意（x，y)，有（x - x0，y - y0）▽f （x，y）> 0，則f（x，y）在p0處取極小值。

②. 對鄰域內任意（x，y)，有（x - x0，y - y0）▽f （x，y）< 0，則f（x，y）在p0處取極大值。

③. 對鄰域內任意（x，y)，有（x - x0，y - y0）▽f （x，y）正負難定，則f（x，y）在p0處不取極值。

（1）前提：

z = （x，y）在點 p（x0，y0）附近有連續的二階偏導數，且fx』（x0，y0） = 0，fy』（x0，y0）= 0

（2）規定：

fxx』（x0，y0） = a；

fxy』（x0，y0） = b；

fyy』（x0，y0） = c。

（3）判斷條件：

①若ac - b2

< 0，則點 p(x0, y0) 不是 f(x0, y0) 的極值點；

②若ac - b2= 0，則f(x0, y0) 在點 p(x0, y0) 可能有極值，也可能沒有極值；

③若ac - b2 > 0，則點 p(x0, y0) 是 f(x0, y0) 的極值點，且a > 0時，f(x0, y0) 是極小值，且a < 0時，f(x0, y0) 是極大值；

f (x, y, z): 目標函式

φ(x, y, z): 約束條件

解得x,y,z 的值

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