最短路徑 Dijkstra演算法

是從乙個頂點到其餘各頂點的最短路徑演算法，解決的是有向圖中最短路徑問題。迪傑斯特拉演算法主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止。

下面我求下圖，從頂點v1到其他各個頂點的最短路徑

首先第一步，我們先宣告乙個dis陣列，該陣列初始化的值為：

我們的頂點集t的初始化為：t=

既然是求 v1頂點到其餘各個頂點的最短路程，那就先找乙個離 1 號頂點最近的頂點。通過陣列 dis 可知當前離v1頂點最近是 v3頂點。當選擇了 2 號頂點後，dis[2]（下標從0開始）的值就已經從「估計值」變為了「確定值」，即 v1頂點到 v3頂點的最短路程就是當前 dis[2]值。將v3加入到t中。

為什麼呢？因為目前離 v1頂點最近的是 v3頂點，並且這個圖所有的邊都是正數，那麼肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得 v1頂點到 v3頂點的路程進一步縮短了。因為 v1頂點到其它頂點的路程肯定沒有 v1到 v3頂點短.

ok，既然確定了乙個頂點的最短路徑，下面我們就要根據這個新入的頂點v3會有出度，發現以v3 為弧尾的有： < v3,v4 >,那麼我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比v1–v4短，其實這個已經是很明顯的了，因為dis[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結果：

因此 dis[3]要更新為 60。這個過程有個專業術語叫做「鬆弛」。即 v1頂點到 v4頂點的路程即 dis[3]，通過 < v3,v4> 這條邊鬆弛成功。這便是 dijkstra 演算法的主要思想：通過「邊」來鬆弛v1頂點到其餘各個頂點的路程。

然後，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發現dis[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然後，我們把v5加入到集合t中，然後，考慮v5的出度是否會影響我們的陣列dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新後的dis陣列如下圖：

然後，繼續從dis中選擇未確定的頂點的值中選擇乙個最小的值，發現dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合t中，此時集合t=,然後，考慮v4的出度是否會影響我們的陣列dis的值，v4有一條出度：< v4,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4–v6的長度為：60，而dis[5]的值為90，所以我們要更新dis[5]的值，更新後的dis陣列如下圖：

然後，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最後dis的陣列的值如下：

求給定加權圖g =（v,e）的單源最短路徑的成本請以g的頂點0為起點，輸出0到各頂點v的最短路徑上各邊權值的總和

輸入：第一行輸入g的頂點個數n。接下來n行按如下格式輸入各頂點u的鄰接表 u k v1 c1 v2 c2 v3 c3 ......

g各頂點編號分別為0至n-1。u代表頂點編號，k代表u的出度，vi（i=1,2,3...k）代表與u相鄰的頂點編號v及u到v的有向邊的權值c

按順序輸出各頂點編號v到0的最短距離

#include #include 
#include 
using
namespace
std;
const
int inf = 0x3f3f3f3f
;int
main()
}for(int i=0;i//
初始化dis陣列
dis[i] = road[0
][i];
vis[
0]=1
; 
int flag=0
; 
inti,j;
while(1
) 
}if(flag == 0)break;//
全部被標記過 跳出while迴圈
vis[j] = 1
; 
for(int i=0;i//
比較更新dis陣列的值
}for(int i=0;i)
printf(
"%d %d\n
",i,dis[i]);
}return0;
}

最短路徑 Dijkstra演算法

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