本節的核心是將常係數微分方程轉化為線性代數問題。\[\frac=\lambda u \quad 的解為 \quad u(t) = ce^
\]\[\frac=a \boldsymbol u \quad 初始條件為向量 \quad \boldsymbol u(0)_
\]注意，這裡 \(a\) 是常矩陣，不隨時間而改變。而且這些方程是線性的，如果 \(\boldsymbol u(t)\) 和 \(\boldsymbol v(t)\) 都是方程組的解，那麼它們的線性組合 \(c\boldsymbol u(t)+d\boldsymbol v(t)\) 也是解，我們需要 \(n\) 個這樣的常數來匹配方程組的初始條件。
其中乙個解是 \(e^ \boldsymbol x\)，\(\lambda\) 是矩陣 \(a\) 的特徵值，而 \(\boldsymbol x\) 是特徵向量。將這個解代入原方程，利用 \(a\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x\) 可得
\[\frac = \lambda e^ \boldsymbol x = a e^ \boldsymbol x=a \boldsymbol u
\]這個解的所有部分都有 \(e^\)，當 \(\lambda>0\) 時，解會增長；當 \(\lambda<0\) 時，解會衰減。而當 \(\lambda\) 為虛數時，則它的實部決定解是增長還是衰減。
求解 \(\frac=a \boldsymbol u = \begin0&1 \\ 1&0\end\boldsymbol u，\boldsymbol u_0 = \begin4 \\ 2\end\)。
矩陣 \(a\) 的特徵值為 1 和 -1，特徵向量為 (1, 1) 和 (1, -1)，因此兩個純指數解為：
\[\boldsymbol u_1(t) = e^ \boldsymbol x_1 = e^t\begin1 \\ 1\end
\]\[\boldsymbol u_2(t) = e^ \boldsymbol x_2 = e^\begin1 \\ -1\end
\]這些 \(\boldsymbol u\) 依然是矩陣的特徵向量，它們滿足 \(a\boldsymbol u_1 = \boldsymbol u_1\) 和 \(a\boldsymbol u_2 = -\boldsymbol u_2\)，只不過是係數隨著 \(t\) 改變罷了。方程組的全解為這些特解的線性組合。
利用初始條件我們可以確定出係數 \(c\) 和 \(d\)。
因此，我們可以通過以下三個步驟來求解 \(\frac=a \boldsymbol u\)。
注意，如果兩個特徵值相同而只有乙個對應的特徵向量，那麼我們就需要另外乙個解 \(te^\boldsymbol x\)。
針對二階方程 \(my''+by'+ky=0\)，我們將之轉化為矩陣形式，假設 \(m=1\)。
因此，我們需要先求解出矩陣的特徵值和特徵向量。
針對方程組的解，我們想知道隨著 \(t \to \infty\)，解是否趨向於 \(\boldsymbol u = 0\)，也就是問題是否是穩定的。這取決於矩陣的特徵值。
全解是由 \(e^\boldsymbol x\) 構建出來的。如果特徵值 \(\lambda\) 是實數，只有當 \(\lambda<0\) 時，解才會趨向 0。如果特徵值 \(\lambda\) 是複數，那麼有 \(\lambda=r+is\)，那麼其實部必須小於零。
對 2×2 矩陣 \(\begina&b \\ c&d\end\) 來說，如果其兩個特徵值滿足上面的兩個條件，則一定有：
\[\lambda_1 + \lambda_2 < 0 \to 矩陣的跡 \quad t = a + d < 0
\]\[\lambda_1 \lambda_2 > 0 \to 矩陣的行列式 \quad d = ad - bc > 0
\]最後，我們想將方程組的解寫成乙個新的形式 \(\boldsymbol u(t) =e^\boldsymbol u_0\)。
\[e^x = 1 + x+\fracx^2+\fracx^3 + \cdots
\]我們將 \(x\) 換成矩陣，可得：
\[e^ = i + at+\frac(at)^2+\frac(at)^3 + \cdots
\]它的導數為 \(ae^\)：
\[a + a^2t+\fraca^3t^2+\fraca^4t^3 + \cdots =ae^
\]它的特徵值是 \(e^\)：
\[(i + at+\frac(at)^2+\frac(at)^3 + \cdots)x = (1+\lambda t + \frac(\lambda t)^2+\frac(\lambda t)^3 + \cdots)x
\]假設 \(a\) 有 \(n\) 個線性不相關的特徵向量，將 \(a=s\lambda s^\) 代入 \(e^\) 可得：
\[e^ = i + at+\frac(at)^2+\frac(at)^3 + \cdots
\]\[= i + s\lambda s^t+\frac(s\lambda s^t)(s\lambda s^t)+ \cdots
\]將 \(s\) 和 \(s^\) 提取出來有
這和之前解的形式是一模一樣的！
\(e^\) 滿足下面三個規則：
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