唯一分解定理例題1 最大公約數和最小公倍數問題

唯一分解定理

[noip2001]最大公約數和最小公倍數問題

題目描述

分析+**

首先我們來了解一下什麼是唯一分解定理。

任何乙個正整數，都可以表示（分解）為所有素數（素數又叫質數，是因數只有兩個的數）各種冪的積（1 = 任何素數 ^ 0，任何素數 = 自己 ^ 1），並且每個不同的數都只有一種分解，所以叫唯一分解定理。by the way，若乙個數依次不被比自己小的素數整除，就可以判斷它是素數。兩個數的最大公約數就是這兩個數的唯一分解式中重合的因子的積。一對互質數的分解中是沒有重複的。

如 36 = 2 ^ 2 * 3 ^ 2 ( 2 * 2 * 3 * 3 ), 10 = 2 * 5。

輸入兩個正整數x0,y0(1≤x0＜100000，1≤y0≤1000000),求出滿足下列條件的p,q的個數 (1) p, q是正整數 (2) 要求p,q以x0為最大公約數, 以y0為最小公倍數. 試求:滿足條件的所有可能的兩個正整數的個數.

x0,y0

滿足條件的p,q的個數

3 60

這道題就要用到數論知識了，因為p，q 都可以被x0整除，所以p，q 可以表示為 a*x0 和 b*x0（a，b 為互質的正整數），我們都知道最小公倍數等於兩個數的積 / 最大公約數，所以可以得到如下等式：

a*x0 * b*x0 / x0 = y0

∴ a*x0 * b = y0

∴ a * b = y0 / x0

因為上式中全是整數，所以a和b都是 y0 / x0 的互質的因數。可以通過對 y0 / x0 唯一分解來解。

y0 / x0 = p1^w1 * p2^w2 * … * pn^wn .（pi是素數，wi是冪）

就是要從這其中分出兩個集合，乙個積為a，乙個積為b。

因為a和b互質，所以從中分出的兩個集合中不能有重複的素數。題目最後要我們求的是有多少對p，q，就是看有多少種分集合的方法。因此，wi的數量已經不重要了，答案取決於wi >= 1的 pi 的數量。每乙個pi都有兩種分法，要麼去a，要麼去b。有兩個數就有2 * 2 = 4種分法。n個素數就有2 ^ n種分法。所以，整個**就是求 y0 / x0 唯一分解式中有效素數的數量n，再輸出 2 ^ n。

方法精妙，自己理解：

#include#include#includeusing namespace std;
int read() 
while(s >= '0' && s <= '9') 
return x * f;
}int n,m,i,j,k,s,o,num;
templatet_ qkpow(t_ a,int e) 
int main() 
m /= n;
for(i = 2;i <= n;i ++) 
}if(m > 1) num ++;
printf("%d",int(pow(2,num)));
return 0;
}

這道題一看**很簡單，數論題基本都有這樣的特點，只是需要推理。

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