數論 唯一分解定理

模唯一分解

總結參考

定理

設

a 和

b為整數,

b>

0 ,則存在整數

q 和

r,使得a=

qb+r

,0≤r

<

b ,使

r 稱為b除

a 所得的最小剩餘

定義定理

若集合

m 為整數的乙個子集,對加減運算封閉,則稱m為模,而任意乙個非零模,必為一正整數的諸倍數組成的集合.

為集合m

中最小的元素,則模中其他的數必定為

d的倍數,可以用反證法:假設n

不是d的倍數,則n=

kd+r

,0<

r因為m

對加減法封閉,所以我們可以不斷減去

d,直至只剩下

r .因為0

<

r<

d與d是集合中最小的元素矛盾,故定理得證.

推論對於第二個推論證明如下:若p

∤a(p不能整除a),所以(a

,p)=

1 ,則根據定理,有整數x,

y a

x+py

=1∴abx

+pyb

=b∵p|a

b

∴ab=

kp∴kp+

pyb=

b−−−

>(k

+yb)

p=b

∴p|b

定理

對於任一自然數

n 皆可唯一的表示為素數之積n=

pa11

pa22

⋯pak

k.

n 為素數,定理坑定c成立.當

n不是素數時,設p1

為n 的最小真因子,容易證明p1

為素數,設n

=p1n

1(1,那麼繼續對n1

重複以上步驟,不超過

n 次後,可得n=

p1p2

⋯pl

唯一設 n=p

a11p

a22⋯

pakk

=qb1

1qb2

2⋯qb

kk,p

1<

⋯,q1<

⋯利用以上定理: 若p為素數且 p|

ab,則 p|

a 或者 p|

b .

可得對於每個pi

|n,可得pi

|qb1

1qb2

2⋯qb

kk可以推得pi

|qbj

j 又因為pi

,qj 是素數,可得pi

=qj 又因為p1

<

⋯,q1<

⋯可得對於每個pi

都有qi

相等.而若a

i≠bi

可得等式pa

11pa

22⋯p

ai−b

ii⋯p

akk=

qb11

qb22

⋯qbi

−1i−

1qbi

+1i+

1⋯qb

kk左邊含有pi

而右邊不含有pi

,這是不可能的可得a

i=bi

唯一性得證

總結唯一分解定理是數論的基礎,再以後的學習中會經常用到.

《演算法數論》 裴定一 祝躍飛 編著

唯一分解定理

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唯一分解定理

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唯一分解定理

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