唯一分解定理

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唯一分解定律：又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數均可寫為質數的積，而且這些素因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。

當題目有大數相除，求餘數時，精度要求高時....就要運用唯一分解定律

以下唯一分解定律證明：

**：為了真正地證明，分解質因數的方法是唯一的，我們將再次用到反證法。假設存在某些數，它們有至少兩種分解方法。那麼根據上文提到的「非空正整數集裡存在最小的元素」，一定有乙個最小的數m，它能用至少兩種方法表示成質數的乘積：

m = p1 * p2 * … * pr = q1 * q2 * … * qs

下面我們將看到，這種假設會推出乙個多麼荒謬的結果來。不妨設p1 <= p2 <= … <= pr, q1 <= q2 <= … <= qs。顯然，p1是不等於q1的，不然兩邊同時約掉它，我們就得到乙個更小的有兩種分解方法的數。不妨設p1 < q1，那麼我們用p1替換掉等式最右邊中的q1，得到乙個比m更小的數t = p1 * q2 * q3 * … * qs。令m』 = m – t，我們得到m』的兩種表達：

m』 = (p1 * p2 * … * pr) – (p1 * q2 * … * qs) = p1 * (p2 * .. * pr – q2 * … * qs) …… (1)

m』 = (q1 * q2 * … * qs) – (p1 * q2 * … * qs) = (q1 – p1) * q2 * … * qs ……………… (2)

由於t比m小，因此m』是正整數。從(1)式中我們立即看到，p1是m』的乙個質因子。注意到m』比m小，因此它的質因數分解方式應該是唯一的，可知p1也應該出現在表示式(2)中。既然p1比所有的q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某個q，於是只可能被包含在因子(q1-p1)裡。但這就意味著，(q1-p1)/p1除得盡，也就是說q1/p1-1是乙個整數，這樣q1/p1也必須得是整數。我們立即看出，p1必須也是q1的乙個因子，這與q1是質數矛盾了。這說明，我們最初的假設是錯誤的。

用e儲存每一位素數的係數如2^1*5^2則表示成e[1,0,2,0,0,0……] 因為素數是[2,3,5,7,11,13……], 2在第一位，5在第三位.

**如下：

#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;

const int maxn=10000+5;

int e[maxn]; //用e儲存每一位素數的係數

vectorprimes;

void getprime()

; for(int i=2;i<=sqrt(10000+0.5);i++)

if(!n[i])

for(int j=i*i;j<=10000;j+=i) n[j]=1;

for(int i=2;i<=10000;i++)

if(!n[i]) primes.push_back(i);

}void add_int(int n,int d)

{ for(int i=0;i>n;

add_int(n,1); //乘以n;

p=0;

for(int i=0;i>n;

add_int(n,-1); //除以n;

p=0;

for(int i=0;i

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