7215 簡單的整數劃分問題

簡介：總時間限制: 100ms 記憶體限制: 65536kb描述將正整數n 表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。正整數n 的這種表示稱為正整數n 的劃分。

總時間限制: 100ms 記憶體限制: 65536kb

描述將正整數n 表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。

正整數n 的這種表示稱為正整數n 的劃分。正整數n 的不同的劃分個數稱為正整數n 的劃分數。

輸入標準的輸入包含若干組測試資料。每組測試資料是乙個整數n(0 < n <= 50)。

輸出對於每組測試資料，輸出n的劃分數。

樣例輸入

5樣例輸出7提示

5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

注意對比題目：

（1）數的劃分（把n分為k份，有點類似於放蘋果，但放蘋果這道題目裡面盤子可以為空，它不允許為空。）

（2）複雜的整數劃分

演算法（一）遞迴法

把乙個正整數n寫成如下形式： n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則為n的乙個劃分。如果中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的乙個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);

例如當n=4時，他有5個劃分，,,,,;注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同乙個劃分。

根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：

(1)當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即;

(2) 當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，;

(3) 當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

(a). 劃分中包含n的情況，只有乙個即；

(b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 當nm時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

(a). 劃分中包含m的情況，即}, 其中的和為n-m，可能再次出現m，因此是（n-m）的m劃分，因此這種劃分個數為f(n-m, m);

(b). 劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數為f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞迴定義特徵，其中（1）和（2）屬於回歸條件，（3）和（4）屬於特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬於遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到回歸條件，從而解決問題。其遞推表示式如下：

f(n, m) =1; 　　　　　　　　　　 (n=1 or m=1)

=f(n, n); 　　　　　　　　 (nm)

1 #include 2 long long getpartitioncount(int n,int max)
3 
24 if (j > root) 
25 primes.push_back(i); 
26 } 
27 } 
28 
29 // 輸出所有素數組合(遞迴實現) 
30 int printcombinations(int num, const vector&primes, int from, vector&numbers) 
31 
39 
40 int count = 0; 
41 
42 // 從第from個素數搜尋，從而避免輸出同構的多個組合 
43 int primesnum = primes.size(); 
44 for (int i = from; i < primesnum; ++i)
45 
52 
53 return count; 
54 } 
55 
56 // 計算num的所有素數和分解 
57 int expandedgoldbach(int num) 
58 
68 
69 int main() 
70 
77 }

view code

c語言**如下：

1 #include2 #include3 #include4 
5 #define maxnum 1000
6 int primenum[maxnum]=,ansarr[maxnum]=;
7 int indexforprimenum,indexforansarr;
8 9 int work(int num);//輸出num的所有素數和分解的方案並返回其總方案數
10 int calcprimes(int num);//計算num內的所有素數（不包括num），結果儲存在primenum. 
11 12 int printans(int num,int from);
13 //回溯法的思想：從primenum的第from個元素開始選擇元素來累加構造num。
14 //構造結果放在ansarr中。尋找到乙個構造方案後輸出該方案.
15 //最終返回總的方案數
16 17 int main(int argc, char *ar**)
18 25 return 0;
26 }
27 //計算num內的所有素數（不包括num），結果儲存在primenum. 返回陣列元素個數 
28 int calcprimes(int num)
29 45 return k;
46 }
47 //呼叫printans()輸出num的所有素數和分解的方案，返回其總方案數 
48 int work(int num)
49 58 
59 //回溯法的思想：從primenum的第from個元素開始選擇元素來累加構造num。
60 //構造結果放在ansarr中。尋找到乙個構造方案後輸出該方案.
61 //最終返回總的方案數
62 int printans(int num,int from)
63 {
64 int i;
65 if(num==0)
66 {
67 printf("found: ");
68 for(i=0;iview code
參考：

7215 簡單的整數劃分問題

簡單整數劃分問題

簡單的整數劃分問題

遞迴 OpenJudge 7215 簡單整數劃分

7215 簡單的整數劃分問題

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遞迴 OpenJudge 7215 簡單整數劃分

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