分治 最近點對問題

最近點對問題：

在平面內有點集 s ，s 包含 n 個點。已知每個點的座標 (x, y) ，求最近的兩點之間的距離（ n > 2）。如果存在重合的兩個點，最近距離記為0。

​ 利用一條直線將平面上的所有點集 s 分成兩部分s1、s2，分別計算這兩部分的最短距離d1、d2，再進行合併。合併時，平面上所有點的最短距離為 dis，則 dis 就是d1、d2和分別在位於s1 和 s2 的兩個點對的距離d12中最小的那個，即：dis = closest() = min (d1, d2, d12);

首先需要對將 s 中所有點存放在結構體陣列 points[ ] 中（共有 n 個），按照 x 座標的大小將 points[ ] 從小到大進行排序。其中結構體包含點的 x 座標和 y 座標。

求最近點距dis = closest(1, n)，有劃分、遞迴、合併三個基本步驟。

劃分：取排序的中間位置處的一條直線mid = l + r，將平面分成左右兩部分s1，s2 如圖。

遞迴：遞迴呼叫求最近點距函式 closest( ) ，分別計算 s1 和 s2 兩個點集的最短距 d1 和 d2。取 d1 和 d2 中較小的那個作為 d 。

合併：計算分別位於 s1 和 s2 的兩個點之間最小的距離 d12。對於 x < mid - d 或者 x > mid + d 範圍內的點，顯然不會出現點距小於 d 的情況。因此只需要在 mid 左右為 d 的範圍內尋找最近的點距。有以下步驟：

將處於mid - d <= x <= mid + d範圍內的點選出來，儲存到selected[ ]陣列中，selected[ ]陣列是乙個臨時陣列，用來存放選出來的點的索引。

將 selected[ ] 按照 y 座標的值從小到大排序。目的是將 y 方向距離比較近的點放在一起。遍歷selected 陣列中的點時，對於每個點最多遍歷出現在它下面相鄰的 6 個點，因此合併是線性複雜度。

最終的最小點距 dis = min(d1, d2, d12)

」最多遍歷6個其他點「 解釋：

​ 對於 selected[ ] 陣列中的每個點，只需要遍歷其下方的點，因為它上方點遍歷其他點的時候已經把它們之間的距離計算過了，所以只需要考慮下方距離為 d ，左右距離也分別為 d 的矩形區域，如下圖。不妨把 mid 線上的點認為屬於s1，那麼由於左側正方形區域中最近距離為 d1 ( < d )， 所以左邊正方形最多存在1、2、5、6 四個點，如果有第5個點，那就一定會有該點與某個點的距離小於 d1 與左側最小距離為 d1 矛盾。除 mid 線上的兩個點外（已經算在左側區域中），右側最多包含3、4、7三個點，其中 7 是分別以3、4為圓心 d2 為半徑的圓弧的交點。所以這個矩形區域內，對於某個遍歷到的點，最多計算它與其他6個點之間的距離

遞迴深度是 log(n) ,每次遞迴的時間複雜度是 nlog(n)（有排序），所以複雜度是 $$o(nlog(n)log(n))$$

#include #include #include #define max 100002

#define inf 1e30
using namespace std;
struct point
points[max];
int selected[max]; 
bool cmp1(const point &a, const point &b)
bool cmp2(const int &a, const int &b)
// 計算兩個點之間的距離
double len(const int &a, const int &b)
// 計算最近點距
double closest(int l, int r)
}// 把選出來的點，按照y排序
sort(selected, selected + j, cmp2);
// 對於y方向的相距小於min的點，測量距離，更新min
for (int i = 0; i < j; i++)
}return min;
}int main(int argc, char const *ar**)
sort(points, points + n, cmp1);
printf("%.2lf\n", closest(0, n - 1));
}return 0;
}

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