命題3.1.18集合的包含關係使集合是偏序的
設\(a\)、\(b\)、\(c\)是集合，如果\(a\subseteq b\)並且\(b\subseteq c\)，那麼\(a\subseteq c\)。如果\(a\subseteq b\)並且\(b\subseteq a\)，那麼\(a=b\)。最後，如果\(a\subsetneq b\)並且\(b\subsetneq c\)那麼\(a\subsetneq c\)。
命題3.6.4設\(x\)、\(y\)、\(z\)是集合，那麼\(x\)和\(x\)有相等的基數。如果\(x\)和\(y\)有相等的基數，那麼\(y\)和\(x\)有相等的基數。如果\(x\)和\(y\)有相等的基數且\(y\)和\(z\)有相等的基數，那麼\(x\)和\(z\)有相等的基數。
命題3.6.8（基數的唯一性）
設\(x\)是乙個基數為\(n\)的集合，那麼\(x\)不可能還有其它的基數。也就是說，對任意的\(m\neq n\)，\(m\)不可能是\(x\)的基數。
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 12 5 10
度量空間 x,d 叫作是全有界的,如果對於每個 varepsilon 0 都存在正整數 n 和 n 個球 b x varepsilon cdots,b x varepsilon 它們覆蓋 x a 證明 全有界的空間是有界的.begin 證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的...