擴充套件歐幾里德演算法

擴充套件歐幾里德演算法已經搞了好幾天了，今天終於看明白，小做總結。

講擴充套件歐幾里得演算法之前，先講歐幾里得演算法和貝祖定理。

歐幾里得演算法

歐幾里得演算法就是輾轉相除法，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

簡單證明一下：

r=gcd(a,b)，a=nr，b=mr。

a%b=(n-n/m*m)r。

因為gcd(n,m)=1。

設w=n/m。

則gcd(m,n-w*m)=1。

所以gcd(m,n-n/m*m)=1。

那麼gcd(b,a%b)=1。

上**。

int gcd(int a,int

b) 
return gcd(b,a%b);
}

貝祖定理

a,b是整數，c=gcd(a,b)，對於任意整數x,y，a*x+b*y是c的倍數。

今天我們運用的是當gcd(a,b)|c時，關於x,y的不定方程a*x+b*y=c(a,b,c均為整數)有整數解無數個。

下面是證明：

設r=gcd(a,b)。

a=nr,b=mr,c=qr。

y=(c-a*x)/b=(qr-nr*a)/mr=(q-n*a)/m。

當x為整數時，y為整數。

反之，當c不是gcd(a,b)的倍數時，q不為整數，則當x為整數時，y不為整數，當y為整數時，x不為整數。

擴充套件歐幾里德演算法

下面就是今天的重點——擴歐。

擴歐一般是用來解決不定方程（a*x+b*y=c(a,b,c為整數常數)）整數解的問題的。

首先第一步，是根據貝祖定理判斷有無整數解（gcd(a,b)|c則有整數解）。那麼c=n*gcd(a,b),則設x=n*q,y=n*p。所以a*q+b*p=gcd(a,b)。

接著是第二步，是運用歐幾里得演算法得到a*q+b*p=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*q`+(a-a/b*b)*p`=a*p`+b*(q`-a/b*p`)。

再得到遞迴式，q=p`,p=q`-a/b*p`，從而推出q,p的一組整數解，*n可得x,y的一組整數解，最終整數解有x-k(b/gcd(a,b)),y-k(a/gcd(a,b))，因為k有無數個，所以整數解由無數個。

上**。

#includeusing

namespace
std;
intx,y;
int exgcd(int a,int
b) 
int w=exgcd(b,a%b);
int k=x;
x=y;
y=k-a/b*y;
returnw;}
intmain()
else
return0;
}

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