仿射密碼與擴充套件歐幾里德變換

仿射密碼簡介:

仿射密碼和移位密碼一樣, 也是一種替換密碼. 不同的是, 移位密碼中, 我們使用的是模n加; 而在下面的仿射密碼中, 我們使用的上一節中介紹的模n乘. 在安全性方面, 仿射密碼同移位密碼一樣, 都是極其差的, 不僅因為他們的原理簡單, 更要命的是這兩種替換密碼沒有隱藏明文的字頻資訊, 這很容易導致破解者輕易的攻破.

放射密碼中的一些概念:

1) 明密文字母表為z26

2) 秘匙 k = (a,b) ∈ z26_ × z26 . 其中z26_ 表示小於26且與26互素(或叫互質)的正整數的集合,這點非常重要的.

3) 加密變換為 y = (ax + b) mod 26 ;

很簡單?(呵呵, 先別急.) 我們先來引入乙個定義.

大家知道, 好多東西都有逆, 大家讀小學時都知道,兩個數相乘乘機為1,則互為倒數, 其實是最簡單的逆. 後來, 我們到了高中, 我們學習了逆函式; 到了大學, 我們學習線性代數, 知道兩個矩陣的乘積為單位矩陣的話, 則這兩個矩陣互為逆矩陣.

現在我跟大家介紹另一種逆. 叫模逆. 其實很好理解的, 如下:

若a,b兩數的乘積對正整數n取模的結果為1. 則稱a,b 互為另外乙個的模逆.

比如:3*7 = 21; 21 % 20 = 1 ; 所以3,7 互為 20 的模逆.

9*3 = 27; 27 % 26 = 1 ; 所以9,3 互為 26 的模逆.

如何標記?

若a,b互為n的模逆 , 即b 為a 的模n的逆元 , 則記 b 為 a-1mod n (這裡沒公式編輯器, a-1中的-1在右上角, 見諒了呵呵).

看了上面的定義, 我們知道:

只有當 a 與 n 互素的時候, a 才是有模逆的. 其他情況下是不存在模逆的, 比如 2 對26 就沒有模逆. 這是個很簡單的數學問題, 大家動下手, 畫幾筆就清楚了.我就不多羅嗦了.

[思考] 大家能快速的求出11對123的模逆嗎? (放心,11和123是互素的.)

可能大家會這樣想:

設其模逆為 b , 則必定存在乙個整數 t , 使得等式 11b = 123t + 1 成立.

我們再變化一下, 也即所求為必須使得 (11b - 1) % 123 = 0 恆成立.

到了這裡, 如果使用筆算對b從2開始依次遞加窮舉的話,將會非常辛苦, 若將123換成乙個更大一點的數, 用筆算窮舉更是不可能的.

聰明你的肯定想說, 寫個程式算就行了啊. 不錯, 寫個程式幫我們窮舉的確很棒, 充分發揮了計算機的作用.

但這裡, 我介紹給大家另外一種巧妙的方法 ----擴充套件歐幾里德變換:

123 = 1*123+ 0*11

11 = 0*123+ 1*11 |11

2 = 1*123+ (-11)*11 |5

1 = (-5)*123+ 56*11

聰明的你, 一定看出來了吧. 對! 我們將123和11都表示成 x * 123 + y * 11 的格式, 然後相減, 在最右側一欄寫上每次減去的被減數的倍數. 依次進行, 知道減數變為1為止. 然後我們取第三列的最下面的乙個數, 再對123 取模即得11 對123的模逆.

對於這個變換, 不清楚的朋友,我勸你們最好動筆畫幾下. 那樣比我在這裡說的起作用的多.嘿嘿~~

這個演算法的好處:

我們編寫這個演算法的程式去求任何模逆都是非常高效的, 它幫我們以及cpu都節省了不少時間.

為了加深理解, 來看乙個例子:

[例子] :求 1211對13211的模逆 .

13211 1 0 //這一行的1和0是固定的.

1211 0 1 |10 //這一行0和1也是固定的, 後面的10是13211減掉的1211的倍數.意思為減掉10個1211.

1101 1 -10 |1 //第乙個1為上一行的第二個1抄下來;-10 = 0 - 1*10 (上一行的算這一行的);後面的1依然為減掉的倍數.

110 -10 11 |10 //-10 為帶抄下來, 11 = 1 - (-10) *1 , 10 為倍數.

1 -120 //很快就到1了, 這時的 -120 就是我們要的.

-120 % 13211= 13091 即為 1211 對13211 的模逆. 怎麼樣? 不錯吧. 呵呵.

以上為引用

仿射密碼：

加密函式是e(x) =ax

+b(modm)；

解碼函式是d(x) =

a− 1(x

−b)(mod

m)，其中a

- 1是a

對m的模逆

。例子：明文："cryptography".key(5,7);5對7的模逆為21;密文："roxezyloheqx",a~z對映為0~25.

#include
<
iostream
>
using
namespace
std;
inta,b,c;
void
encode(
char
*seq,
char
*out
)cout
<<
endl;
}void
decode(
char
*seq)
cout
<<
endl;}//
求a對b的模逆
intmo(
inta,
intb)y=
y%res;
if(y
<0)
res+=
y;else
res=
y;return
res;}//
參考int
moni(
inta,
intn)y =
y%n;if
(y<0)
returny;}
intmain()

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