利用矩陣來求解斐波那契數列的有關問題是acm題中乙個比較常見的題型。例：nyoj 148(斐波那契數列2)。
有關斐波那契樹列的規律詳見這裡。
(1)、對於n>1，都有f(n)與f(n-1)互質。
(2)、f(n)=f(i)*f(n-i-1)+f(i+1)*f(n-i)。
現在說說怎麼利用矩陣來求解斐波那契數列。
我們可以先儲存b=f(1),a=f(0)，然後每次設： b'=a+b a'=b。後利用a'和b'一直迴圈即可。同時我們可以將b a看做乙個向量[b a]，前面的操作就可以乘以矩陣：
|1 1|*[b a]=[a+b b]。
|1 0|
也就是說，如果我們要求第100個fibonacci數，只需要將矩陣[1 0]乘上
1 1
1 0
的一百次方，再取出第二項即可。就像題目中的描述一樣：設f
0 = 0，f
1 = 1，那麼有：
這個矩陣的n次方的形式是：
f(n+1) f(n)
f(n) f(n-1)，
現在的問題是如何求出這個矩陣的n次方是多少？
可以使用的方法有兩種：
(1)、可以利用二分的思想：假設要求矩陣的n次方為a(n)，設i=n/2若n%2==1，則 a(n)=a(i)*a(i)*a(1)若n%2==0，則a(n)=a(i)*a(i)。
(2)、利用二進位制的思想：將n拆為二進位制數，譬如13=(1101)2那麼 a^13= a^8 * a^4 * a^1。這個在求快速冪模的時候經常用。具體見**，可做模板，寫的比較的亂：
#include#includeusing namespace std;
const int max=10;
#define __int64 long long
#define bit(n) 1<>num,num!=-1)
return m.result();
}
s(n)=f(0)2
+f(1)2
+f(2)2
+...+f(n)2
；s(n-1)=f(0)2
+f(1)2
+f(2)2
+...+f(n-1)2
。 所以：s(n)-s(n-1)=f(n)2
=x2f(n-1)2
+y2f(n-2)2
+2xyf(n-1)f(n-2)。
所以可以構造下面的矩陣：
這個時候就簡單了，具體見**：
#include#include#includeusing namespace std;
const int max=10;
#define __int64 long long
#define clr(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
int x,y,num;
class matrix
void init()
void unit() //初始化為單位矩陣
start=m*start;
return start.result();
}ostream& operator<
{ for(int i=0;i
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