微軟面試題之一，難度係數中。
題目描述如下：
定義fibonacci 數列如下：
/ 0 n=0
f(n)= 1 n=1
\ f(n-1)+f(n-2) n=2
輸入n，用最快的方法求該數列的第n 項。
邏輯分析：
對於斐波那契數列問題，經常在各種語言書中，作為遞迴的例子，所以提起遞迴，很多程式設計師都會想到斐波那契數列，至於效率嘛。。。呵呵，***，順便一提，這貨也是讓大部分人不假思索，直言一切遞迴低效率的罪魁禍首。
這裡給出坑爹的遞迴演算法實現原始碼：
int fibonacci(int n)
f(10)/ \
f(9)
f(8)/\
/ \f(8)
f(7)
f(7)
f(6)/ \
/\f(7)
f(6)
f(6) f(5)
可以看出，樹中的所有節點都需要計算，而顯而易見的是，樹中存在重複節點，樹的高度為n-1，則時間複雜度為o(2^n)（等比數列求和）。
補充：這裡的計算是估算，因為並非是滿二叉樹，嚴格來講，這裡只是得到了演算法的複雜度階——指數複雜度。
這裡摘出資料結構經典書籍中的一段分析：
我們令t(n)
為函式fib(n)
的執行時間，當
n>=2
的時候我們分析可知：
t(n) = t(n-1) + t(n-2) + 2
而fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)
，所以有
t(n) >= fib(n)
，歸納法證明可得：
fib(n) < (5/3)^n
當
n>4
時，fib（n
）>= (3/2)^n
標準寫法：
顯然這個o
（(3/2)^n
）是以指數增長的演算法
，基本上是最壞的情況。
其實，這違反了遞迴的乙個規則：合成效益法則。
合成效益法則（
compound interest rule
）：在求解乙個問題的同一例項的時候，切勿在不同的遞迴呼叫中做重複性的工作。
所以在上面的**中呼叫
fib(n-1)
的時候實際上同時計算了
fib(n-2)
。這種小的重複計算在遞迴過程中就會產生巨大的執行時間。
2、找到了問題的所在，那麼我們的想法，顯然就是避免重複計算，實際上，不難想到，只要利用乙個迴圈，不斷遞推，便可以在o(n)的時間複雜度內完成演算法。
int fibonacci(int n)
; if(n<2)
return result[n];
int fibone = 1,fibtwo = 0;
int fibn = 0;
for(int i=2;i<=n;i++)
return fibn;
}
**實現：
int fibonacci(int n)
4、我想對於大部分人來說，問題做到這裡，就可以結題了。不過對於斐波那契數列問題，一部分人是了解一種矩陣演算法的（我記著好像是在mit演算法導**開課看到的。。。）
我們將數列寫成：
fibonacci[0] = 0，fibonacci[1] = 1
fibonacci[n] = fibonacci[n-1] + fibonacci[n-2] (n >= 2)
可以將它寫成矩陣乘法形式：
遞推得到：
那麼，我們的目標，就是計算
問題的精髓便在於此處，我們分離出了目標，但是直觀上需要計算n次方，單純的迴圈計算，時間複雜度上並不會有所改善，依然是o(n)，而對於乘方計算這一問題，實際上也是歷史悠久，沒錯，你應該想到了，利用二分法，演算法五大思想中的分治。
乘方性質： /
a^(n/2)
*a^(n/2)
n為偶數時a^n
=\ a^((n-1)/2)*a^((n-1)/2)*a
n為奇數時
求n次方，那麼先求得n/2次方，再將結果平方一下，所以，時間複雜度o(logn)。
#include #include //2x2矩陣結構體定義
struct matrix2by2
int m_00;
int m_01;
int m_10;
int m_11;
};//矩陣乘法運算
matrix2by2 matrixmultiply
( const matrix2by2& matrix1,
const matrix2by2& matrix2
)///
//計算矩陣的n次方
// 1 1
// 1 0
///matrix2by2 matrixpower(unsigned int n)
else if(n % 2 == 0)
else if(n % 2 == 1)
return matrix;
}//斐波那契呼叫介面
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