最小生成樹 Prim演算法和Kruskal演算法

最小生成樹

3條構造最小生成樹的準則：

只能使用該網路中的邊來構造最小生成樹

只能使用恰好n-1條邊來聯結網路中的n個結點

選用的這個n-1條邊不能構成迴路。

mst性質

假設n=(v,)是乙個連通網，u是頂點集合v的乙個非空子集。若（u，v）是一條具有最小值（代價）的邊，其中u屬於u，v屬於v-u（即u對立集合），那麼必存在一顆包含邊（u，v）的最小生成樹。

注意prim和kruskal演算法都是利用mst性質

如何利用mst性質來構造最小生成樹？

我們知道權值最小的肯定在最小生成樹中，權值次小的邊也會被至少一顆生成樹採用，關鍵第三小的邊選擇（由於第三條邊可能出現迴路，從而不滿足樹的定義）。由此我們可以使用不同策略來解決迴路問題常見的演算法有prim演算法和kruskal演算法。（都用了貪心策略）

一 prim演算法

三種實現（from  wiki）

鄰接矩陣、搜尋                                                o(v2)

二叉堆、鄰接表                                                o((v + e) log(v)) = o(e log(v))

斐波那契堆、鄰接表                                           o(e + v log(v))

鄰接矩陣實現， 時間複雜度o(v2)

/*

prim演算法
lowcost[i]:當前生成樹（u集合）到頂點i的多條邊中最短的一條邊。
inc[i]:頂點i不在生成樹中。1表示在裡面，0反之。
pre[i]:儲存頂點i的前驅結點。
mgraph用的鄰接矩陣表示，其中用edges[i][j]來記錄i-->j是否有關係。n表示頂點個數，e表示邊的個數。
*/const int inf = 10000000;
const int n = 2025;
int graph[n][n], lowcost[n], pre[n];
bool inc[n];
int n;
int prim(int s)
} if(cmin==inf)//查詢失敗
break;
//找出lowcost的最短代價（權值）即找出最短邊中的最短的一條。​ 
inc[s] = 1;//將該條邊加入生成樹中
//加入乙個頂點v之後，生成樹到各個不在生成樹的頂點的最小值也會變。
//即更新lowcost陣列（只計算不在生成樹的頂點且只要更新與新添進去的頂點相關的邊）。
for(j=0;j_<)
graph[x][y] = graph[y][x] = t;
}}

最小生成樹（prim演算法）

最小生成樹是資料結構中圖的一種重要應用,它的要求是從乙個帶權無向完全圖中選擇n 1條邊並使這個圖仍然連通 也即得到了一棵生成樹 同時還要考慮使樹的權最小。prim演算法要點 設圖g v，e 其生成樹的頂點集合為u。把v0放入u。在所有u u，v v u的邊 u，v e中找一條最小權值的邊，加入生成樹...

最小生成樹 Prim演算法

prim 演算法 以領接矩陣儲存 圖g bool b i 表示頂點i是否被訪問，初始化時候memset b,false,sizeof b b 0 value，表示從第0個節點開始。用value i 表示節點i到最小生成樹a中定點的最小距離。例如value 1 a 0 1 int sum記錄權值和 i...

最小生成樹 prim 演算法

一 演算法描述 假設存在連通帶權圖g v，e 其中最小生成樹為t，首先從圖中隨意選擇一點s屬於v作為起始點，並將其標記後加入集合u 中。然後演算法重複執行操作為在所有v屬於u，u屬於v u的邊 v0,u0 屬於e中找一條代價最小的邊並加入集合t，同時將u0併入u，直到u v為止。這是，t中必有n 1...