數學題澆水解題報告

澆水

(water.c/cpp/pas)

【題目描述】

lazychild在青島二中科技樓裡種了一排n棵樹，每棵樹都有乙個高度。他會列舉所有的區間，然後從區間中找出乙個高度最矮的樹進行澆水（照顧弱者）。由於lazychild澆完水之後就精疲力竭了，所以請你幫助他計算每棵樹都被澆了幾次水。

【輸入檔案】

第一行乙個整數n。

第二行n個整數，分別表示每棵樹的高度。

【輸出檔案】

一行n個整數用空格隔開，分別表示每棵樹被澆了幾次水。

【樣例輸入】 3

1 3 5

【樣例輸出】

3 2 1

【樣例解釋】

lazychild列舉到了6個區間分別是[1],[3], [5], [1 3], [3 5], [1 3 5]，對應的最矮的樹的高度是1, 3, 5, 1, 3, 1。

【資料規模和約定】

對於40%的資料，n <= 1000

對於100%的資料，n <= 1000000，保證每棵樹的高度都不相同

【考察點】

乘法原理的運用

【思路】

首先想到的肯定是暴力列舉，但是這樣做只能通過40%的資料。於是我們就來考慮優化問題：首先來看，某棵樹要被澆水的條件是它在某區間內是最小的，於是我們就很容易想到單調佇列，但是這個區間長度不一定，所以單調佇列不能解決問題；那麼再看，我們可以發現，在某個區間內，如果某個點是最小的，那麼只要是包含這個點的子區間，都是對他澆水，於是我們就可以考慮列舉這個點，並且分別向左、向右掃瞄，找出第乙個小於他的位置，根據乘法原理，可以得出，這個點的澆水次數為l*r，但是這樣的最壞情況是n^2的（每個點都掃瞄整個數列，雖然題目保證高度不同，達不到這個程度，但是畢竟不保險）。所以我們就來思考如何在更低的時間複雜度內求出每個點的l、r：觀察可以發現，某點的l、r可以由附近的點推出（結論就不說了，自己推導看看），於是就能ac了。

【提交情況】

第1次wa6組，第2次ac

【經驗】

l*r可能會爆longint，另外這樣的語句s:=l*r，即使l、r分別沒爆longint，s是int64的，若l*r爆掉了longint，s中存的就是爆掉之後的值。因為它的計算原理是先求出l*r的32位長整，再將這個數強制轉換成64位長整……

【收穫】

經驗中的那個東西……

programwater;
var n:longint;
l,r,a:array[0..1000001]of longint;
sum:array[0..1000001]of int64;
procedureterminate;
begin
close(input);
close(output);
halt;
end;
procedureinit;
var i:longint;
begin
assign(input,'water.in');
assign(output,'water.out');
reset(input);
rewrite(output);
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
read(a[i]);
end;
end;
functioncon1(x,t:longint):int64;
begin
if a[l[x]]a[i] thenl[i]:=con1(i-1,i)
else l[i]:=i-1;
end; //推l
for i:=n downto 1 do
begin
if a[i]>a[i+1] then r[i]:=i+1
else r[i]:=con2(i+1,i);
end; //推r
for i:=1 to n do
begin
t1:=i-l[i];
t2:=r[i]-i; //計算左邊、右邊的數
sum[i]:=t1*t2;
//萬惡的計算……
end;
for i:=1 to n do
write(sum[i],' ');
end;
begin
init;
main;
terminate;
end.

accode：

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