01揹包問題和完全揹包問題

2021-06-23 09:55:49 字數 2167 閱讀 7048

在hihocoder上面的題目中看到的這個問題,總結一下。先看01揹包問題。

01揹包問題:乙個揹包總容量為v,現在有n個物品,第i個 物品體積為weight[i],價值為value[i],現在往揹包裡面裝東西,怎麼裝能使揹包的內物品價值最大?

看到這個問題,可能會想到貪心演算法,但是貪心其實是不對的。例如最少硬幣找零問題,要用動態規劃。動態規劃思想就是解決子問題並記錄子問題的解,這樣就不用重複解決子問題了。

動態規劃先找出子問題,我們可以這樣考慮:在物品比較少,揹包容量比較小時怎麼解決?用乙個陣列f[i][j]表示,在只有i個物品,容量為j的情況下揹包問題的最優解,那麼當物品種類變大為i+1時,最優解是什麼?第i+1個物品可以選擇放進揹包或者不放進揹包(這也就是0和1),假設放進揹包(前提是放得下),那麼f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1];如果不放進揹包,那麼f[i+1][j]=f[i][j]。

這就得出了狀態轉移方程:

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。

可以寫出**測試:

#includeusing namespace std;

#define v 1500

unsigned int f[10][v];//全域性變數,自動初始化為0

unsigned int weight[10];

unsigned int value[10];

#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)

int main()

for (int i=1; i<=n; i++)

for (int j=1; j<=m; j++)

else

f[i][j]=f[i-1][j];

} cout<

再進一步思考,計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j],沒有使用f[i-1][j+1]這樣的話,我們先計算j的迴圈時,讓j=m……1,只使用乙個一維陣列即可。

for i=1……n

for j=m……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

#includeusing namespace std;

#define v 1500

unsigned int f[v];//全域性變數,自動初始化為0

unsigned int weight[10];

unsigned int value[10];

#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)

int main()

for (int i=1; i<=n; i++)

for (int j=m; j>=1; j--)

} cout《乙個揹包總容量為v,現在有n個物品,第i個 物品體積為weight[i],價值為value[i],每個物品都有無限多件,現在往揹包裡面裝東西,怎麼裝能使揹包的內物品價值最大?

對比一下,看到的區別是,完全揹包問題中,物品有無限多件。往揹包裡面新增物品時,只要當前揹包沒裝滿,可以一直新增。那麼狀態轉移方程為:

f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1]),其中0<=k<=v/weight[i+1]

使用記憶體為一維陣列,偽**

for i=1……n

for j=1……m

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

和01揹包問題唯一不同的是j是從1到m。01揹包問題是在前乙個子問題(i-1

種物品)的基礎上來解決當前問題(i

種物品),向i-1種物品時的揹包新增第i種物品;而完全揹包問題是在解決當前問題(i種物品),向i種物品時的揹包新增第i種物品。

**如下:

#includeusing namespace std;

#define v 1500

unsigned int f[v];//全域性變數,自動初始化為0

unsigned int weight[10];

unsigned int value[10];

#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)

int main()

for (int i=1; i<=n; i++)

for (int j=1; j<=m; j++)

} cout<

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