原創作者（by
夜せ︱深 感謝作者）
在**上一直沒有找到有關於快速冪演算法的乙個詳細的描述和解釋，這裡，我給出快速冪演算法的完整解釋，用的是c
語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀
c的人較多~
所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求乙個冪式的模(餘)
。在程式設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，為了得到更快、計算範圍更大的演算法，產生了快速冪取模演算法。[有讀者反映在講快速冪部分時有點含糊，所以在這裡對本文進行了修改，作了更詳細的補充，爭取讓更多的讀者一目了然]
我們先從簡單的例子入手：求a^b % c = ?
演算法1.
首先直接地來設計這個演算法：
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans % c;
這個演算法的時間複雜度體現在for
迴圈中，為o（
b）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和
b過大，很容易就會溢位。
那麼，我們先來看看第乙個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣乙個公式：a^b%c=(a%c)^b%c.這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過，不過這裡為了方便大家的閱讀，還是給出證明：
引理1：a^b%c = (a%c)^b%c
上面公式為下面公式的引理，即積的取餘等於取餘的積的取餘。
證明了以上的公式以後，我們可以先讓a關於c
取餘，這樣可以大大減少
a的大小，
於是不用思考的進行了改進：
演算法2：
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans % c;
聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans
也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。
演算法3：
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans % c;
這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為o(b)，不過已經好很多的，但是在c
過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪演算法。
快速冪演算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。
那麼我們可以得到以下演算法：
演算法4：
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到
ans中
k = (a*a) % c; //我們取
a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
ans = ans % c;
我們可以看到，我們把時間複雜度變成了o(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令
k = (a * a) mod c
時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為
(k)b/2 mod c而不是原來的
ab mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c
，所以為了完成迭代，當
b是奇數時，我們通過
ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。
形如上式的迭代下去後，當b=0
時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在o（
log b
）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。
演算法5：快速冪演算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
將上述的**結構化，也就是寫成函式：
int powermod(int a, int b, int c)
return ans; }
本演算法的時間複雜度為o（
logb
），能在幾乎所有的程式設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的演算法之一。
以下內容僅供參考：
擴充套件：有關於快速冪的演算法的推導，還可以從另乙個角度來想。
=？ 求解這個問題，我們也可以從進製轉換來考慮：
將10進製的b
轉化成2
進製的表示式：
注意此處的要麼為0
，要麼為
1，如果某一項，那麼這一項就是1
，這個對應了上面演算法過程中
b是偶數的情況，為
1對應了
b是奇數的情況
[不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯絡
10進製轉
2進製的方法
]，我們從依次乘到。對於每一項的計算，計算後一項的結果時用前一項的結果的平方取餘。對於要求的結果而言，為時ans
不用把它乘起來，
[因為這一項值為
1]，為
1項時要乘以此項再取餘。這個演算法和上面的演算法在本質上是一樣的，讀者可以自行分析，這裡我說不多說了，希望本文有助於讀者掌握快速冪演算法的知識點，當然，要真正的掌握，不多練習是不行的。
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