**：二分圖的最大匹配、完美匹配和匈牙利演算法
這篇文章講無權二分圖（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用於求解匹配的匈牙利演算法（hungarian algorithm）；不講帶權二分圖的最佳匹配。
二分圖：簡單來說，如果圖中點可以被分為兩組，並且使得所有邊都跨越組的邊界，則這就是乙個二分圖。準確地說：把乙個圖的頂點劃分為兩個不相交集 u 和 v ，使得每一條邊都分別連線u 、 v 中的頂點。如果存在這樣的劃分，則此圖為乙個二分圖。二分圖的乙個等價定義是：不含有「含奇數條邊的環」的圖。圖 1 是乙個二分圖。為了清晰，我們以後都把它畫成圖 2 的形式。
匹配：在圖論中，乙個「匹配」（matching）是乙個邊的集合，其中任意兩條邊都沒有公共頂點。例如，圖 3、圖 4 中紅色的邊就是圖 2 的匹配。
我們定義匹配點、匹配邊、未匹配點、非匹配邊，它們的含義非常顯然。例如圖 3 中 1、4、5、7 為匹配點，其他頂點為未匹配點；1-5、4-7為匹配邊，其他邊為非匹配邊。
最大匹配：乙個圖所有匹配中，所含匹配邊數最多的匹配，稱為這個圖的最大匹配。圖 4 是乙個最大匹配，它包含 4 條匹配邊。
完美匹配：如果乙個圖的某個匹配中，所有的頂點都是匹配點，那麼它就是乙個完美匹配。圖 4 是乙個完美匹配。顯然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何乙個點都已經匹配，新增一條新的匹配邊一定會與已有的匹配邊衝突）。但並非每個圖都存在完美匹配。
基本概念講完了。求解最大匹配問題的乙個演算法是匈牙利演算法，下面講的概念都為這個演算法服務。
5交替路：從乙個未匹配點出發，依次經過非匹配邊、匹配邊、非匹配邊…形成的路徑叫交替路。
增廣路：從乙個未匹配點出發，走交替路，如果途徑另乙個未匹配點（出發的點不算），則這條交替路稱為增廣路（agumenting path）。例如，圖 5 中的一條增廣路如圖 6 所示（圖中的匹配點均用紅色標出）：
增廣路有乙個重要特點：非匹配邊比匹配邊多一條。因此，研究增廣路的意義是改進匹配。只要把增廣路中的匹配邊和非匹配邊的身份交換即可。由於中間的匹配節點不存在其他相連的匹配邊，所以這樣做不會破壞匹配的性質。交換後，圖中的匹配邊數目比原來多了 1 條。
我們可以通過不停地找增廣路來增加匹配中的匹配邊和匹配點。找不到增廣路時，達到最大匹配（這是增廣路定理）。匈牙利演算法正是這麼做的。在給出匈牙利演算法 dfs 和 bfs 版本的**之前，先講一下匈牙利樹。
匈牙利樹一般由 bfs 構造（類似於 bfs 樹）。從乙個未匹配點出發執行 bfs（唯一的限制是，必須走交替路），直到不能再擴充套件為止。例如，由圖 7，可以得到如圖 8 的一棵 bfs 樹：
這棵樹存在乙個葉子節點為非匹配點（7 號），但是匈牙利樹要求所有葉子節點均為匹配點，因此這不是一棵匈牙利樹。如果原圖中根本不含 7 號節點，那麼從 2 號節點出發就會得到一棵匈牙利樹。這種情況如圖 9 所示（順便說一句，圖 8 中根節點 2 到非匹配葉子節點 7 顯然是一條增廣路，沿這條增廣路擴充後將得到乙個完美匹配）。
偽**：
bool 尋找從k出發的對應項出的可增廣路
}
}
則從k的對應項出沒有可增廣路,返回false;
}void 匈牙利hungary()
輸出 匹配數;
}
匈牙利演算法
匈牙利演算法 edmonds演算法 步聚 1 首先用 標記x中所有的非m頂點，然後交替進行步驟 2 3 2 選取乙個剛標記 用 或在步驟 3 中用 yi 標記 過的x中頂點，例如頂點xi，如果xi與y為同一非匹配邊的兩端點，且在本步驟中y尚未被標記過,則用 xi 去標記y中頂點y。重複步驟 2 直至...
匈牙利演算法
匈牙利演算法用來解決二分圖的最大匹配問題。乙個典型的最大匹配問題的描述如下 乙個公司有n項工作，m個員工。每個員工能勝任n項工作中的幾項 0 n 工作。問題是，如何分配才能使得被處理的工作數最大。當然，如果公司裡人員很多，每項工作都有很多員工可以勝任，那麼使每項工作都有人處理的方案是顯而易見的。但遇...
匈牙利演算法
二分圖匹配的演算法,二分圖就是把圖上的點分成兩個互不相交的點集,而圖中的邊的端點只能分別屬於這兩個點集.二分圖的匹配,就是婚配問題,左邊的點集男性,右邊的點集女性,然後相互配對 一夫一妻 最大匹配就是讓好事最多.匈牙利演算法可以實現這個東西.匈牙利演算法怎麼實現的這個東西.這個比較多.如下 incl...