費馬小定理

2021-07-12 02:02:17 字數 3849 閱讀 2201

(選自《數論妙趣——數學女王的盛情款待》第六章 開門咒)

數論中充斥著許多易於觀察到的事實,誘使人們用普通歸納推理的辦法去進行推廣。對此,必須慎之又慎,以免誤入陷阱。

設想你偶而把

2自乘7次,再減去2,得2

7-2=126,隨後發現,126恰好能被2的冪指數7整除。接著又發現,25

-2=30,30也能被2的冪指數5整除;211

-2=2048,2048也能被2的冪指數11整除。從7,5,11都是奇數產生乙個想法,把2的冪指數換成偶數會怎麼樣?於是,又去試驗24

-2=14,發現14不能被2的冪指數4整除;26

-2=62,62也不能被2的冪指數6整除;28

-2=254,254也不能被2的冪指數8整除。

這時,你或許會產生乙個感覺:2的冪指數p為奇數時,2p

-2似乎能被p整除;2的冪指數p為偶數時,2p

-2似乎不能被p整除。為了慎重起見,你可能會測試一下29

-2=510,並驚訝地發現,9雖然是奇數,510卻不能被2的冪指數9整除;還有,215

-2=32766,15雖然是奇數,32766也不能被2的冪指數15整除。於是感到,不能總在奇數和偶數上兜圈子,索性擴大試驗範圍,並對資料進行系統整理。於是得到:

p     2p

-2        (2

p-2)÷p 

2(質數)  2

2-2=4-2=2    

2÷2=1

3(質數)  2

3-2=8-2=6    

6÷3=2

4(合數)  2

4-2=16-2=14   

14不能被4整除

5(質數)  2

5-2=32-2=30    

30÷5=6

6(合數)  2

6-2=64-2=62   

62不能被6整除

7(質數)  2

7-2=128-2=126   

126÷7=18。

8(合數)  2

8-2=256-2=254   

254不能被8整除

9(合數)  2

9-2=512-2=510   

510不能被9整除

10(合數) 210

-2=1024-2=1022 

1022不能被10整除

11(質數) 211

-2=2048-2=2046 

2046÷11=186。

12(合數) 212

-2=4096-2=4094 

4094不能被12整除

13(質數) 213

-2=8192-2=8190 

8190÷13=630

14(合數) 214

-2=16384-2=16382 

16382不能被14整除

15(合數) 215

-2=32768-2=32766 

32766不能被15整除

16(合數) 216

-2=65536-2=65534 

65534不能被16整除

17(質數) 217

-2=131072-2=131070 

131070不能被17整除

18(合數) 217

-2=262144-2=262142 

262142不能被18整除

19(質數) 217

-2=524288-2=524286 

524286÷19=27594

20(合數) 217

-2=1048576-2=1048574 

1048574不能被20整除

21(合數) 217

-2=2097152-2=2097150 

2097150不能被21整除

22(合數) 217

-2=4194304-2=4194302 

4194302不能被22整除

23(質數) 217

-2=8388608-2=8388606 

8388606÷23=364722

24(合數) 217

-2=16777216-2=16777214 

16777214不能被24整除

25(合數) 217

-2=33554432-2=33554430 

33554430不能被25整除

至此,事情已經非常清楚,你很可能會按耐不住興奮的心情,作出自以為絕對正確無誤的結論:

當p為質數時,2

p-2能被p整除。當p為合數時,2p

-2不能被p整除。

其實,這個結果,我國的古代先哲,早在西元前

500年就已經知道了。只是到了

2023年,有人發現,當p=341時,2

341-2也能被341整除,而341=31×11,卻是個合數,才使上面的「結論」產生動搖。

那麼,真實情況又是怎樣的呢?真實情況是:

p為質數時,2

p-2恒能被p整除;p為合數時,2p

-2有時也能被p整除。

通過這個事例,也使我們再一次認識到,僅僅靠歸納得出來的結論,往往是不可靠的。

後來,就是那位提出「xn+y

n=zn,當n≥3時不成立」,而使無數數學大師為之絞盡腦汁苦思冥想了200多年,大名鼎鼎號稱「業餘數學王子」的費馬,重新發現並證明了「

p為質數時,2

p-2恒能被p整除」

,並且將其推廣到:如果p為質數,x

p-x(x是任意正整數)必能被p整除。

在提出公因子x後,x

p-x=x(x

p-1-1),並且設x不是p的倍數,這樣,就得到著名的「

費馬小定理」:

若x是乙個不能被質數p整除的整數,則xp-1-1必能被p整除。如果用同余式寫法,就是xp-1≡1 mod p。

這種樸實無華的代數關係,似乎不會給人們留下什麼深刻印象。然而它導致了眾多的思維與奧妙的數學邏輯通道,因而被看成是數論大廈的一塊基石。

費馬小定理有著非常獨特的作用,從下面這個例子,就可見一斑。

2134217826

-1是乙個非常非常大的數,有四千萬位數字,需要40卷500頁的大書,每頁2000字,才能容納得下。然而根據費馬小定理,立即可以肯定它能被134217827整除。當然,先決條件是:134217827是質數。

費馬小定理有多種證法,以同餘證法最為簡短而精緻。

任意取乙個質數,比如13。考慮從1到12的一系列整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,給這些數都乘上乙個與13互質的數,比如3,得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。對於模13來說,這些數同余於3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。這些餘數實際上就是原來的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,只是順序不同而已。

把1,2,3,…,12統統乘起來,乘積就是12的階乘12!。把3,6,9,…,36也統統乘起來,並且提出公因子3,乘積就是3

12×12!。對於模13來說,這兩個乘積都同余於1,2,3,…,12系列,儘管順序不是一一對應,即3

12×12!≡12!mod 13。兩邊同時除以12!得3

12≡1 mod 13。如果用p代替13,用x代替3,就得到費馬小定理x

p-1≡1 mod p。

需要提醒的是,不能把費馬小定理理解為只是對質數成立。如果那樣的話,就會得到乙個判定質數的簡單而實用準則:某數p能整除x

p-1-1,則p必為質數。尋找簡便易行的判定質數的方法,一直是人們夢寐以求的願望。不幸的是,費馬小定理對質數永遠成立,對合數有時也成立,使得這一美好願望落了空。不過,儘管如此,費馬小定理仍然不失為數論大廈的一塊基石。

費馬大定理與費馬小定理

費馬大定理,又被稱為 費馬最後的定理 由17世紀法國數學家皮耶 德 費瑪提出。他斷言當整數n 2時,關於x,y,z的方程 xn yn zn 沒有正整數解。德國佛爾夫斯克曾宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內,第乙個證明該定理的人,吸引了不少人嘗試並遞交他們的 證明 被提出後,經歷多人猜想辯...

費馬小定理

費馬小定理 在較短時間內計算 a n p n極大 推倒 費馬小定律的描述,若a,p互質,則 a p 1 p 1 若不互質,則a p p a a,p互質,設n p 1 j餘n p 1 則 a n p a n p 1 p 1 j p a n p 1 a p 1 j p a n p 1 p a p 1 p...

費馬小定理

費馬小定理是數論中的乙個定理 假如a是乙個整數,p是乙個質數,那麼 是p的倍數 即 ap a p 0 ap p a p 可以表示為 如果a不是p的倍數,這個定理也可以寫成 同余式寫法 如果兩個正整數 a和 b之差能被 n整除,那麼我們就說 a和 b對模n同餘,記作 任意取乙個質數,比如13。考慮從1...