（選自《數論妙趣——數學女王的盛情款待》第六章 開門咒）
數論中充斥著許多易於觀察到的事實，誘使人們用普通歸納推理的辦法去進行推廣。對此，必須慎之又慎，以免誤入陷阱。
設想你偶而把
2自乘7次，再減去2，得2
7－2＝126，隨後發現，126恰好能被2的冪指數7整除。接著又發現，25
－2＝30，30也能被2的冪指數5整除；211
－2＝2048，2048也能被2的冪指數11整除。從7,5,11都是奇數產生乙個想法，把2的冪指數換成偶數會怎麼樣？於是，又去試驗24
－2＝14，發現14不能被2的冪指數4整除；26
－2＝62，62也不能被2的冪指數6整除；28
－2＝254，254也不能被2的冪指數8整除。
這時，你或許會產生乙個感覺：2的冪指數p為奇數時，2p
－2似乎能被p整除；2的冪指數p為偶數時，2p
－2似乎不能被p整除。為了慎重起見，你可能會測試一下29
－2＝510，並驚訝地發現，9雖然是奇數，510卻不能被2的冪指數9整除；還有，215
－2＝32766，15雖然是奇數，32766也不能被2的冪指數15整除。於是感到，不能總在奇數和偶數上兜圈子，索性擴大試驗範圍，並對資料進行系統整理。於是得到：
p 2p
－2 (2
p－2)÷p
2(質數) 2
2－2＝4－2＝2
2÷2＝1
3(質數) 2
3－2＝8－2＝6
6÷3＝2
4(合數) 2
4－2＝16－2＝14
14不能被4整除
5(質數) 2
5－2＝32－2＝30
30÷5＝6
6(合數) 2
6－2＝64－2＝62
62不能被6整除
7(質數) 2
7－2＝128－2＝126
126÷7＝18。
8(合數) 2
8－2＝256－2＝254
254不能被8整除
9(合數) 2
9－2＝512－2＝510
510不能被9整除
10(合數) 210
－2＝1024－2＝1022
1022不能被10整除
11(質數) 211
－2＝2048－2＝2046
2046÷11＝186。
12(合數) 212
－2＝4096－2＝4094
4094不能被12整除
13(質數) 213
－2＝8192－2＝8190
8190÷13＝630
14(合數) 214
－2＝16384－2＝16382
16382不能被14整除
15(合數) 215
－2＝32768－2＝32766
32766不能被15整除
16(合數) 216
－2＝65536－2＝65534
65534不能被16整除
17(質數) 217
－2＝131072－2＝131070
131070不能被17整除
18(合數) 217
－2＝262144－2＝262142
262142不能被18整除
19(質數) 217
－2＝524288－2＝524286
524286÷19＝27594
20(合數) 217
－2＝1048576－2＝1048574
1048574不能被20整除
21(合數) 217
－2＝2097152－2＝2097150
2097150不能被21整除
22(合數) 217
－2＝4194304－2＝4194302
4194302不能被22整除
23(質數) 217
－2＝8388608－2＝8388606
8388606÷23＝364722
24(合數) 217
－2＝16777216－2＝16777214
16777214不能被24整除
25(合數) 217
－2＝33554432－2＝33554430
33554430不能被25整除
至此，事情已經非常清楚，你很可能會按耐不住興奮的心情，作出自以為絕對正確無誤的結論：
當p為質數時，2
p－2能被p整除。當p為合數時，2p
－2不能被p整除。
其實，這個結果，我國的古代先哲，早在西元前
500年就已經知道了。只是到了
2023年，有人發現，當p＝341時，2
341－2也能被341整除，而341＝31×11，卻是個合數，才使上面的「結論」產生動搖。
那麼，真實情況又是怎樣的呢？真實情況是：
p為質數時，2
p－2恒能被p整除；p為合數時，2p
－2有時也能被p整除。
通過這個事例，也使我們再一次認識到，僅僅靠歸納得出來的結論，往往是不可靠的。
後來，就是那位提出「xn＋y
n＝zn，當n≥3時不成立」，而使無數數學大師為之絞盡腦汁苦思冥想了200多年，大名鼎鼎號稱「業餘數學王子」的費馬，重新發現並證明了「
p為質數時，2
p－2恒能被p整除」
，並且將其推廣到：如果p為質數，x
p－x（x是任意正整數）必能被p整除。
在提出公因子x後，x
p－x＝x(x
p－1－1)，並且設x不是p的倍數，這樣，就得到著名的「
費馬小定理」：
若x是乙個不能被質數p整除的整數，則xp－1－1必能被p整除。如果用同余式寫法，就是xp－1≡1 mod p。
這種樸實無華的代數關係，似乎不會給人們留下什麼深刻印象。然而它導致了眾多的思維與奧妙的數學邏輯通道，因而被看成是數論大廈的一塊基石。
費馬小定理有著非常獨特的作用，從下面這個例子，就可見一斑。 2
134217826
－1是乙個非常非常大的數，有四千萬位數字，需要40卷500頁的大書，每頁2000字，才能容納得下。然而根據費馬小定理，立即可以肯定它能被134217827整除。當然，先決條件是：134217827是質數。
費馬小定理有多種證法，以同餘證法最為簡短而精緻。
任意取乙個質數，比如13。考慮從1到12的一系列整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，給這些數都乘上乙個與13互質的數，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。對於模13來說，這些數同余於3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。這些餘數實際上就是原來的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是順序不同而已。
把1,2,3,…,12統統乘起來，乘積就是12的階乘12！。把3,6,9,…,36也統統乘起來，並且提出公因子3，乘積就是3
12×12！。對於模13來說，這兩個乘積都同余於1,2,3,…,12系列，儘管順序不是一一對應，即3
12×12！≡12！mod 13。兩邊同時除以12！得3
12≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到費馬小定理x
p－1≡1 mod p。
需要提醒的是，不能把費馬小定理理解為只是對質數成立。如果那樣的話，就會得到乙個判定質數的簡單而實用準則：某數p能整除x
p－1－1，則p必為質數。尋找簡便易行的判定質數的方法，一直是人們夢寐以求的願望。不幸的是，費馬小定理對質數永遠成立，對合數有時也成立，使得這一美好願望落了空。不過，儘管如此，費馬小定理仍然不失為數論大廈的一塊基石。
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費馬小定理
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