例1.求$13^2004$除以17的餘數.
分析：遇到有關帶指數的被除數的問題，我們首先考慮運用同餘、互素以及費馬小定理或尤拉定理，降次使被除數變小，進而求出餘數。
容易直到17為素數，且(13, 17)=1，由費馬小定理可知
$$13^ = 13^ \equiv 1 (mod \ 17)$$
又因為$2004=16*125+4$， 所以
$$13^ = 13^ \equiv ^(mod \ 17)$$
而$^4=^2=^2\equiv ^2=1(mod \ 17)$，
因此$13^ \equiv 1(mod \ 17)$，即$13^$除以17的餘數為1.
例2.求使$5^m \equiv 1(mod \ 21)$成立的最小正整數$m$.
分析：這個式子與尤拉定理的形式相似，且(5, 12)=1，φ(21)容易求出，我們考慮使用尤拉定理.因
為(5, 12)=1，且φ(21)=12（即1~20中與21互素的有12個），由尤拉定理有
$$5^ \equiv 1(mod \ 21)$$
顯然$m\leq $，令$12=mq+r$，其中$0\leq r\leq m$，則有
$$5^=5^=(5^m)^q \times 5^r$$，
所以$5^r\equiv 1(mod \ 21)$，由於m是使同余式成立的最少正整數，所以r=0，從而$m | 12$，檢驗12的正因數1，2，3，4，6，12，我們發現
$$5^ \equiv 5(mod \ 21),\\5^ \equiv 4(mod \ 21),\\ 5^ \equiv 20(mod \ 21),\\ 5^ \equiv 16(mod \ 21), \\ 5^ \equiv 1(mod \ 21)$$
因此，最小正整數m為6.
費馬小定理和尤拉定理
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