最小生成樹（prim演算法）

在實際生活中我們常常會遇到這樣一些問題：有若干個需要連線的點（不妨假設為一些村莊）和若干條連線著兩個點的邊（在村莊間修公路），而這些邊會有不同的權值（可設為修路所需的費用不同）。現在要連通這些所有的點，並使權值和最小。這類問題在現實生活中很廣泛，如修公路、架設電網，等等。

在資訊學競賽中，這種問題有專門的稱謂「最小生成樹」（minimum spanning tree，簡稱mst）。

今天介紹一下mst問題中的prim演算法。首先來看一道例題。

題目描述:

bessie受僱來到john的農場幫他們建立internet網路。農場有n (2(= n (= 1， 000)牛棚，編號為1. . n. john之前已經勘測過，發現有

m (1<=m<= 20， 000) 條可能的連線線路，一條線路是連線某兩個牛棚的。每條可能的線路都有乙個建設如c (1<= c <=100，000). john當然想花盡量少的錢，甚至剋扣bessie的工資。

bessie發現了這點，很生氣，決定給john搗亂。她要

選擇)些線路組成網，但費用卻盡可能大。當然網路要能正常工作，也就是

任意兩個牛棚之間都是相互可以連通的，並且網路上不能有壞，不然john會很容易發現的。

請計算組建這種網路最多可能的費用。

輸入檔案cowtract. in

第一行:兩個整數n m

下面m行:每行3個整數a， b， c。表示乙個可能的線路要連線a、b兩個牛棚，費用是c。

輸出檔案cowtract.out

只一行，乙個整數，即花費最大的費用。如果不可能連線通所有牛棚，輸出-1。

輸入樣例：

5 81 2 3

1 3 7

2 3 10

2 4 4

2 5 8

3 4 6

3 5 2

4 5 17

輸出樣例：

42注釋：

17+8+10+7=42

通過題目中紅色粗體字部分容易看出，本題是一道生成樹問題。不過有點不同，是「最大生成樹」。當然，演算法一樣。

現在，介紹一下prim演算法的思想。

首先我們可以確定，對於有n個頂點的圖，mst一定只有n-1條邊。如果有多餘的邊，顯然會造成浪費。

將圖分為兩個集合a和b，設a就是我們要求的mst。其中a一開始只有乙個任意的頂點。（整個圖最終是連通的，因而該頂點最後必定在mst中，可取任意一點。）

每次取a和b的最小權交叉邊e（即e=(x,y)，x∈a且y∈b），將y加入a中。

當a中有n個頂點時，結束；否則轉3。

舉個例子：

此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。

頂點d被任意選為起始點。頂點a、b、e和f通過單條邊與d相連。a是距離d最近的頂點，因此將a及對應邊ad以高亮表示。

下乙個頂點為距離d或a最近的頂點。b距d為9，距a為7，e為15，f為6。因此，f距d或a最近，因此將頂點f與相應邊df以高亮表示。

演算法繼續重複上面的步驟。距離a為7的頂點b被高亮表示。

在當前情況下，可以在c、e與g間進行選擇。c距b為8，e距b為7，g距f為11。點e最近，因此將頂點e與相應邊be高亮表示。

這裡，可供選擇的頂點只有c和g。c距e為5，g距e為9，故選取c，並與邊ec一同高亮表示。

頂點g是唯一剩下的頂點，它距f為11，距e為9，e最近，故高亮表示g及相應邊eg。

現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的mst。在此例中，mst的權值之和為39。

**如下：

# include 
# define max(a,b) a>b?a:b //定義max巨集 
const int size = 1000 + 5 ;
const int inf = 0x7fffffff ; //2^31-1
int n , m , dis[size] , g[size][size] , num[size] , f[size] ;
//dis[i]表示集合a中頂點到頂點i的最小權
//g是鄰接矩陣
//num[i]記錄頂點i的邊中權值最小的另一頂點
//f是並查集
bool visited[size] ;
//visited標記是否在mst中
//並查集操作
int _find ( int ) ;
void _union ( int , int ) ;
int main () 
bool liantong=true; //判斷是否連通
for ( int i=1 ; i!=n && liantong ; ++i )
if ( _find(f[i])!=_find(f[i+1]) ) liantong=false; //若最終不可能在同一集合中，必定無法連通
if ( !liantong ) 
for ( int i=0 ; i!=n+1 ; ++i ) 
int sum=0 ;
visited[1]=true ; //第1個頂點已在mst中
for ( int i=1 ; i!=n ; ++i ) 
}sum += g[num[k]][k] ;
visited[k]=true ; //入mst
for ( int j=1 ; j!=n+1 ; ++j ) }}
printf ( "%d\n" , sum ) ;
return 0 ;
}int _find ( int i ) 
void _union ( int i , int j )

upd(2015,12,31):prim演算法的時間複雜度為o(|v|^2)。

最小生成樹（prim演算法）

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最小生成樹 Prim演算法

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