我們以線性代數的中心問題開啟我們的航程：解決線性方程。最重要並且也是最簡單的情況就是位置函式的數目等於方程的數目。現在我們有包含
n 個未知變數的
n個方程，首先從n=
2 開始： 1x
+2y=
34x+
5y=6
(1)
未知變數是x,
y 。我打算用消元和行列式兩種方式來求解方程。當然x,
y 由1,
2,3,
4,5,
6 這些數確定，問題就是如何利用這六個數求解出方程。
消元第二個方程減去第乙個方程的四倍。從而消去第二個方程中的
x ，只留下了關於
y的方程：
(方程2
)−4(
方程1)
−3y=
−6(2)
這樣就得到y=
2 。然後
x 從第乙個方程1x
+2y=
3計算出來： 1x
+2(2
)=3x
=−1(3)
計算出來後，x,
y 也應該滿足第二個方程。代入得：4×
(−1)
+5×2
=6行列式y=
2 完全依賴於方程中的六個數。對於
y 存在乙個公式(當然
x也有)，是兩個行列式的比值：
y=∣∣
∣143
6∣∣∣
∣∣∣1
425∣
∣∣=1
⋅6−3
⋅41⋅
5−2⋅
4=−6
−3=2
(4)
如果你知道2×
2 方陣的行列式，那麼它就沒有那麼神秘了。它同樣給出了解y=
2 。同樣利用行列式，我們可以求出
x ： x=
∣∣∣3
625∣
∣∣∣∣
∣142
5∣∣∣
=3⋅5
−2⋅6
1⋅5−
2⋅4=
3−3=
−1(5)我們來比較這兩種方法，考慮
n 非常大(在科學計算中n=
1000
是非常適中的大小)。事實就是直接對1000個方程使用行列式將是乙個大災難。左邊將會有百萬級別的數目，既然是正確的，但是效率很低。之後會提到該公式如何得到(克萊姆法則)，但是目前我們需要乙個很好的辦法來解決這1000個方程。
最好的辦法是高斯消元法。這個演算法一直被用於解決大型的方程組。以後的大部分例子都是n=
3 ，這是看不出太大區別。方程(2
)(4)
基本使用相同的步驟得到y=
2 。之後通過回帶到方程(3)中很快得出
x 。對於更大的
n值，依然有效。消去法比計算行列式要好。
消去法的想法看起來很簡單，通過幾個例子就能掌握它。它是非常基礎的內容，通過簡化矩陣我們就能理解它。在此我想講四點更深層次的內容：
線性代數帶來了平面幾何。在十維空間中視覺化九維平面不太容易。而理解相交於十個方程解的那些平面更難。但是不見得是不可能的。在圖1 中有兩條直線，相交於點(x
,y)=
(−1,
2)。線性代數將影象放到十維空間裡，在這個空間裡，我們的直覺不得不去想象其幾何形狀。
圖1：左邊是例子的單個解，中間和右邊是奇異情況，分別是無解和多個解
現在考慮矩陣符號，將
n 個未知量表示成向量x，
n 個方程表示成ax
=b。我們用消去矩陣乘以
a 得到上三角矩陣
u。這些步驟將矩陣
a 分解為l×
u，其中
l 是下三角矩陣： a=
∣∣∣1
425∣
∣∣=∣
∣∣14
01∣∣
∣∣∣∣
102−
3∣∣∣
=l×u
(6)首先我們需要介紹矩陣和向量以及乘法規則。每個矩陣都存在轉置at
。這個矩陣還存在逆矩陣a−
1 大部分情況下，消去法不會存在問題。矩陣可逆的話，方程ax
=b還有乙個解。但是在特殊的情況下這種方法就被打破了，既可能是方程組的順序出錯(通過交換一笑就能產生)，也可能是方程沒有唯一解。如果將例子中的5換成8，就出現了奇異的情況：
1x+2
y=34
x+8y
=6(7)
消去法依然用第二個減去第乙個的四倍，那麼結果是： (方
程2)−
4(方程
1)0=
−6對於n
個方程組，我們希望粗略算出需要多少步消去運算。計算代價經常決定著模型的精度。一百個方程需要一百萬步(乘法和減法)的三分之一。計算機可以很快地計算出來。在一百步之後，捨入誤差就已經很明顯了。(有些問題敏感，而有些不敏感)在不知道全部細節的情況下，我們想明白實際中出現的大型系統以及他們是如何被解決的。
之後我會盡可能有效的介紹消去演算法。這個演算法用於各種各樣的應用中，同時，用矩陣的方式(係數矩陣
a，消去矩陣
e ，行交換矩陣
p以及因子l,
u
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