在質量工程師的培訓中，我們經常詢問學員以下圖形是什麼曲線，學員普遍能夠回答是正態分佈曲線，但進一步詢問學員該曲線的縱軸f(x)表示什麼，許多同學以為是概率值。
其實這個曲線是正態分佈概率密度曲線，f(x)是指隨機變數x在觀察值為x時的概率密度，如果隨機變數x的單位為mm，則f(x)的單位為%/mm。
曲線與x軸所圍成的面積表示概率，該面積等於1，因為隨機變數的所有可能取值（即：100%）都在x軸上。
以下是乙個均值=10，標準差=0.5的正態分佈概率密度曲線的例子，x=9.020的垂線與該分布的概率密度曲線和x軸所圍成的左側區域面積=0.025，該面積表示在隨機變數x的總體分布中，有2.5%的值小於9.020，也就是說在總體分布中，隨機變數x的取值小於9.020的概率為2.5%。同樣，x=10.98的垂線與該分布的概率密度曲線和x軸所圍成的右側區域面積=0.025，該面積表示在隨機變數x的總體分布中，有2.5%的值大於10.98，也就是說在總體分布中，隨機變數x的取值大於10.98的概率為2.5%（也即是隨機變數x的取值小於10.98的概率為97.5%）。在這個分布中，x=9.020的值被稱為x的2.5%分位數（即：x2.5%=9.020），x=10.98的值被稱為x的97.5%分位數（x97.5%=10.98）。隨機變數x有95%（即：97.5% - 2.5%=95%）的取值落在9.020至10.98之間。每個分位數都是隨機變數所有可能取值中的某個值。按照定義，若某個值xp被稱為隨機變數x的p分位數，則隨機變數x的取值小於xp的概率為p。
以下是該正態分佈對應的累積概率分布曲線，該曲線的縱軸表示的是累積概率，比如：x=9.020對應的累積概率為2.5%（即：隨機變數x的取值小於x=9.020的概率為2.5%）, x=10對應的累積概率為50%（即：隨機變數x的取值小於x=10的概率為50%）, x=10.98對應的累積概率為97.5%（即：隨機變數x的取值小於x=10.98的概率為97.5%）。
分位數的概念很重要，我們在研究過程能力時，通常將被研究過程的特性的99.865%分位數與0.135%分位數的差值（即：被研究過程的特性其中間99.73%的區間範圍）定義為過程變異（process variation）的寬度。建立spc控制圖，如：均值極差（xbar-r）控制圖時，也是分別以樣本均值和樣本極差的0.135%分位數和99.865%分位數作為下控制限（lcl）和上控制限（ucl）。
對於服從正態分佈的過程的特性x，其0.135%分位數x0.135%=μ-3σ，99.865%分位數x99.865%=μ+ 3σ，因此，過程變異的寬度=6σ。
對於服從任意分布的隨機變數，過程變異的寬度= x99.865% - x0.135%
。以下是任意分布時的概率密度分布曲線的例子。隨機變數取值x=xi
時的概率p(x=xi
）=△xf(x)，因為△x趨於0，因此在連續分布中，隨機變數取值x=xi
的概率p(x=xi
）趨於0。
7 7 2 隨機變數與分布函式
1.隨機變數 對於隨機事件的每一結果對應乙個實數，是隨機現象與實值函式之間的紐帶 2.為什麼要研究隨機變數 1 有些問題我們關心的不是隨機實驗的結果，而是聯絡該結果的數量，引入隨機變數有助於研究我們所關注的問題。2 有些問題樣本空間本來就是實數集，引入隨機變數，對關心的隨機事件描述更簡潔明確。3 有...
隨機變數函式的分布與聯合分布
以下文字均假設所求分布存在。設函式y f x 單調遞增，若隨機變數x變化範圍是 x,x dx 且由此引起的y變化範圍是 y,y dy 那麼 p x x x dx p y y y dy 若單調遞減，dy 0，上式就成為 p x x x dx p y dy y 也就是 x,x dxf x dx y,y ...
隨機事件與隨機變數
1 隨機事件基本概念 事例引入 現有一枚普通形狀的骰子，將骰子連續投5次，每次投擲出的結果可能性是均等的 其中 1 投擲骰子並得出均等結果的行為稱作隨機現象 2 投擲骰子所能得出所有結果的集合稱為樣本空間 3 投擲骰子所得出的每乙個結果稱為樣本點 4 投擲骰子所得出的結果都在1 6之間，稱為必然事件...