基礎知識填坑向量的叉積

在看到有人討論如何判斷線段相交的問題的時候，發現自己有向量這塊基礎知識的缺失，因此寫篇筆記填個坑，以便記憶。

一、向量的基本知識

1.向量的概念：如果一條線段的端點是有次序之分的，我們把這種線段成為有向線段(directed segment)。如果有向線段p1p2的起點p1在座標原點，則將其稱為向量(vector)p2。

2.向量加減法：設二維向量p = ( x1, y1 )，q = ( x2 , y2 )，

向量加法定義為： p + q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

向量減法定義為： p - q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )

顯然有性質 p + q = q + p，p - q = - ( q - p )。

第乙個可能會想到的辦法，就是判斷斜率，這個在中學時代就學過了，不過斜率需要考慮垂直的特殊情況，比較麻煩。計算兩個向量的叉積或許是乙個更好的辦法，如果兩個向量叉乘為0，則是平行或者重合的，否則兩直線相交。這裡貼出來乙個便於理解原理的**如下：

#include #include using namespace std;
using namespace cv;
struct point
;struct v
;int crossproduct(v* v1, v* v2)
int main()

輸出結果為: crossproduct: -3

如圖所示，向量p1，p2的叉乘就是圖中平行四邊形的面積=3，負號就表示向量p1在p2的逆時針方向。

三、判斷兩線段相交

經典方法，就是跨立試驗了，即如果一條線段跨過另一條線段，則線段的兩個端點分別在另一條線段的兩側。但是，還需要檢測邊界情況，即兩條線段中可能某條線段的某個端點正好落在另一條線段上。

程式模擬如下：

int direction(point* pi, point* pj, point* pk)
int onsegment(point* pi, point* pj, point* pk)
else
if (pi->y > pj->y)
else
if (minx <= pk->x && pk->x <= maxx && miny <= pk->y && pk->y <= maxy)
return 1;
else
return 0;
}int segmentintersect(point* p1, point* p2, point* p3, point* p4)

實際上，如果想改進上述演算法，還可以在跨立試驗前加一步，就是先做快速排斥試驗。那就是，先分別判斷以兩條線段為對角線的矩形是否相交，如果不相交，則兩個線段肯定不相交。

四.判斷兩條線段相交，然後計算交點

設一條線段為l0=p1p2, 另一條線段或直線為l1=q1q2, 要計算的就是l0和l1的交點。

1.首先判斷l0和l1是否相交(方法已在前文討論過), 如果不相交則沒有交點, 否則說明l0和l1一定有交點, 下面就將l0和l1都看作直線來考慮.

2.如果p1和p2橫座標相同, 即l0平行於y軸

a)若l1也平行於y軸

i.若p1的縱座標和q1的縱座標相同, 說明l0和l1共線, 假如l1是直線的話他們有無窮的交點, 假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點(該方法在前文已討論過);

ii.否則說明l0和l1平行, 他們沒有交點;

b)若l1不平行於y軸, 則交點橫座標為p1的橫座標, 代入到l1的直線方程中可以計算出交點縱座標;

3.如果p1和p2橫座標不同, 但是q1和q2橫座標相同, 即l1平行於y軸, 則交點橫座標為q1的橫座標, 代入到l0的直線方程中可以計算出交點縱座標;

4.如果p1和p2縱座標相同, 即l0平行於x軸

a)若l1也平行於x軸,

i.若p1的橫座標和q1的橫座標相同, 說明l0和l1共線, 假如l1是直線的話他們有無窮的交點, 假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點(該方法在前文已討論過);

ii.否則說明l0和l1平行, 他們沒有交點;

b)若l1不平行於x軸, 則交點縱座標為p1的縱座標, 代入到l1的直線方程中可以計算出交點橫座標;

5.如果p1和p2縱座標不同, 但是q1和q2縱座標相同, 即l1平行於x軸, 則交點縱座標為q1的縱座標, 代入到l0的直線方程中可以計算出交點橫座標;

6.剩下的情況就是l1和l0的斜率均存在且不為0的情況

a)計算出l0的斜率k0, l1的斜率k1;

b)如果k1 = k2

i.如果q1在l0上, 則說明l0和l1共線, 假如l1是直線的話有無窮交點, 假如l1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點(該方法在前文已討論過);

ii.如果q1不在l0上, 則說明l0和l1平行, 他們沒有交點.

c)聯立兩直線的方程組可以解出交點來

這個演算法並不複雜, 但是要分情況討論清楚, 尤其是當兩條線段共線的情況需要單獨考慮, 所以在前文將求兩條共線線段的演算法單獨寫出來. 另外, 一開始就先利用向量叉乘判斷線段與線段(或直線)是否相交, 如果結果是相交, 那麼在後面就可以將線段全部看作直線來考慮. 需要注意的是, 我們可以將直線或線段方程改寫為ax+by+c=0的形式, 這樣一來上述過程的部分步驟可以合併, 縮短了**長度, 但是由於先要求出引數, 這種演算法將花費更多的時間.

鄙人才疏學淺，尚有不足還望不惜賜教。

基礎知識填坑向量的叉積

向量的叉積

向量的點積和叉積

向量的點積和叉積

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向量的點積和叉積

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