51nod1244 莫比烏斯函式和 杜教篩

求∑n

i=1μ

(i),

n<=

1010

有一篇文必須得轉

author: skywalkert

original article:

last update time : 2017-04-01

ni=1

∑d|i

μ(d)

=1可推 ∑n

i=1∑

nij=

1μ(j

)(等價

於列舉a

=ij，

給a累加

μ(j)

) 分出i=1的情況， ∑n

i=1μ

(i)+

∑ni=

2∑ni

j=1μ

(j)=

1 也就是 an

s(n)

=∑ni

=1μ(

i)=−

∑ni=

2ans

(ni)

+1其中ni

分塊。下面分析這樣遞迴求解的時間複雜度。 設t

(n) 為求解an

s(n)

的複雜度， t(

n)=n

√(分塊

)+∑n

√i=1

t(i)

+t(n

i)（求

解子問題

） t(

n)=n

√+∑n

√i=1

i√+n

i−−√

（只展開一層，考慮最高次項）

又因為∑n√

i=1i

√+ni

−−√=

o(n3

4)，所以總的時間複雜度就是o(

n34)

算過的不需要再算，用map存起來。不用會t比較多點。

還可以進行優化，可以先用線篩預處理出前k個的ans，經推導k取n2

3 時有最小複雜度o(

n23)

。 這樣實際上不僅減少了理論複雜度，更大大縮減了hashmap的定址時間。

核心思想是數學變形+交換主體+利用狄利克雷卷積性質

如果能通過狄利克雷卷積構造乙個更好計算字首和的函式，且用於卷積的另乙個函式也易計算，則可以簡化計算過程。

#include 

#include 
#include 
#include 
#define n 10000001ll
typedef
long
long ll;
using
namespace
std;
ll a,b,mu[n],ini;
map h;
bool is[n];
int p[n];
void init(ll n) 
}mu[i]+=mu[i-1];
}}ll solve(ll x) 
return k=ret;
}int main()

51nod1244 莫比烏斯函式之和

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