51nod 1244 莫比烏斯函式之和

莫比烏斯函式，由德國數學家和天文學家莫比烏斯提出。梅滕斯(mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作為莫比烏斯函式的記號。具體定義如下：

如果乙個數包含平方因子，那麼miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果乙個數不包含平方因子，並且有k個不同的質因子，那麼miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

給出乙個區間[a,b]，s(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + …… miu(b)。

例如：s(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10) = -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

輸入包括兩個數a, b，中間用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

輸出s(a, b)。

3 10

-1

∑ri=

lμ(i

) 我們設 m(

n)=∑

ni=1

μ(i)

已知 ∑d|

nμ(d

)=[n

=1] （當 n=

1 時結果為

1 ，其餘為 0）

所以有 ∑n

i=1∑

d|iμ

(d)=

∑ni=

1∑⌊n

i⌋d=

1μ(d

)=∑n

i=1m

(⌊ni

⌋)=1

因為 ∑ni

=1m(

⌊ni⌋

)=m(

n)+∑

ni=2

m(⌊n

i⌋)=

1 所以 m(

n)=1

−∑ni

=2m(

⌊ni⌋

) 然後就可以根據這個式子遞迴得出結果咯~

需要注意時間上的優化：

#include

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
typedef __int64 ll;
typedef pair p;
const
int maxn = 5000000;
const
int mod = 1e5+7;
map mp[mod];
bool check[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
void moblus()
for(int j=0; jint num=i*prime[j];
check[num]=true;
if(i%prime[j]==0)
else
mu[num]=-mu[i];}}
for(int i=2; i1];
}int call(ll x)
mp[x%mod][x]=p(ans,true);
return ans;
}int main()

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求 i lr i l,r 10 10設m n i 1 n i 我們知道，d n d n 1 那麼1 i 1 n d i d t 1n d t d i 1n d 1 ni d i 1 nm ni 於是，m n 1 i 2nm ni 後面的東西可以用分塊來加速。然後打上記憶化標記。或者可以先預處理出一段...

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