51nod 1244 莫比烏斯函式之和 杜教篩

莫比烏斯函式，由德國數學家和天文學家莫比烏斯提出。梅滕斯(mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作為莫比烏斯函式的記號。具體定義如下：

如果乙個數包含平方因子，那麼miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果乙個數不包含平方因子，並且有k個不同的質因子，那麼miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

給出乙個區間[a,b]，s(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + … miu(b)。

例如：s(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

輸入包括兩個數a, b，中間用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

輸出s(a, b)。

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-1杜教篩板子，佬下午講了我就寫一寫

考慮令h=μ∗i

顯然h=∑d∣nμ(d)∗i(nd)=[n=1]

現在求一下h的字首和sumh(n)=∑i=1nh(i)=1

那麼同時我們考慮sumh(n)=∑i=1n∑d∣nμ(d)∗i(nd)

sumh(n)=∑i=1n∑d∣nμ(d)

sumh(n)=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋μ(d)

sumh(n)=∑d=1n∑i=1n[i≤⌊nd⌋]μ(d)

sumh(n)=∑i=1n∑d=1n[d≤⌊ni⌋]μ(d)

sumh(n)=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋μ(d)

sumh(n)=∑d=1nμ(d)+∑i=2n∑d=1⌊ni⌋μ(d)

令p(n)=∑d=1μ(d)

可以得到sumh(n)=1=p(n)+∑i=2np(⌊ni⌋)

然後就可以得到最後的式子p(n)=1−∑i=2np(⌊ni⌋)

至於杜教篩的複雜度我就不說了

然後這題需要預處理一部分的字首和來優化，然後就可以了

然後因為我很懶，就不想寫hash table，然後就map代替了

問題不大

1 #include2

using
namespace
std;
3#define n 5000010
4#define ll long long
5 mapmp;
6 ll mu[n],pri[n],vis[n],tot=0;7
void
init()16}
17for(int i=2;i1
];18}19
ll mertens(ll n)
27return mp[n]=ans;28}
29int
main()

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51NOD 1244 莫比烏斯函式之和

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