最小生成樹 Prim演算法和Kruskal演算法

1、最小生成樹：乙個有 n 個結點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有 n 個結點，並且有保持圖連通的最少的邊。

最小生成樹包括三個重要的性質：

最小：邊的權重和最小

生成：最小生成樹是從原樹生成的，包含所有頂點，|v|-1條邊都在圖里

樹：最小生成樹還必須是一棵樹，無迴路，v個頂點一定有|v|-1條邊。

最小生成樹是連通的，而連通的圖一定有乙個最小生成樹，這是充分必要的。

2、貪心演算法：無論是哪一種演算法都屬於貪心演算法，所謂貪心演算法，就是從最好的開始收納，直到滿足要求。

在這個問題當中，使用貪心演算法計算最小生成樹需要注意三點：

（1）、只能用圖中有的邊；

（2）、只能用掉|v|-1條邊；

（3）、不能有迴路。

3、prim演算法：從乙個根節點開始，讓小樹慢慢的長大。

prim演算法的例子：

尋找最小生成樹的步驟：

（1）這裡選擇v1為根結點，將v1收納進來；

（2）然後選擇一條最小的邊，這條邊滿足在圖中，並且和v1相連，顯然，選擇e（v1->v4），將v4收納進來；

（3）然後選擇跟v1.v4相關的邊中最小的，並且不能構成迴路。相關的邊包括了與v1相連的邊和與v4相連的邊，這裡將v1->v2收進來，將v4->v3也收進來，其次最小的邊為v4->v2，但是收進來會構成迴路所以不能收進來，v1->v3同理不能收進來。

（4）以此類推，然後將v4->v7收進來，將v7->v6收進來，將v7->v5收進來，完成了最小生成樹如圖紅色部分：

**實現：

vertex findmindist( mgraph graph, weighttype dist )
}if (mindist < infinity) /* 若找到最小dist */
return minv; /* 返回對應的頂點下標 */
else
return error; /* 若這樣的頂點不存在，返回-1作為標記 */
}int prim( mgraph graph, lgraph mst )
totalweight = 0; /* 初始化權重和 */
vcount = 0; /* 初始化收錄的頂點數 */
/* 建立包含所有頂點但沒有邊的圖。注意用鄰接表版本 */
mst = creategraph(graph->nv);
e = (edge)malloc( sizeof(struct enode) ); /* 建立空的邊結點 */
/* 將初始點0收錄進mst */
dist[0] = 0;
vcount ++;
parent[0] = -1; /* 當前樹根是0 */
while (1) 
}} /* while結束*/
if ( vcount < graph->nv ) /* mst中收的頂點不到|v|個 */
totalweight = error;
return totalweight; /* 演算法執行完畢，返回最小權重和或錯誤標記 */
}

4、kruskal演算法：如果圖比較稀疏，就可以選擇kruskal演算法，在不形成迴路的情況下逐漸收納最小邊，直到|v|-1條邊被收納進去就結束。它的時間複雜度為：t = o( |e| log |e| )

kruskal演算法思路：先構造乙個只含 n 個頂點，而邊集為空的子圖，若將該子圖中各個頂點看成是各棵樹上的根結點，則它是乙個含有 n 棵樹的乙個森林。之後，從網的邊集 e 中選取一條權值最小的邊，若該條邊的兩個頂點分屬不同的樹，則將其加入子圖，也就是說，將這兩個頂點分別所在的兩棵樹合成一棵樹；反之，若該條邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直至森林中只有一棵樹，也即子圖中含有 n-1條邊為止。

**實現：

typedef vertex elementtype; /* 預設元素可以用非負整數表示 */
typedef vertex setname; /* 預設用根結點的下標作為集合名稱 */
typedef elementtype settype[maxvertexnum]; /* 假設集合元素下標從0開始 */
void initializevset( settype s, int n )
void union( settype s, setname root1, setname root2 )
else 
}setname find( settype s, elementtype x )
bool checkcycle( settype vset, vertex v1, vertex v2 )
}/*並查集定義*/
void percdown( edge eset, int p, int n )
eset[parent] = x;
} /* 邊的最小堆定義*/
void initializeeset( lgraph graph, edge eset )
/* 初始化為最小堆 */
for ( ecount=graph->ne/2; ecount>=0; ecount-- )
percdown( eset, ecount, graph->ne );
}int getedge( edge eset, int currentsize )
int kruskal( lgraph graph, lgraph mst )
}if ( ecount < graph->nv-1 )
totalweight = -1; /* 設定錯誤標記，表示生成樹不存在 */
return totalweight;
}

5、兩個演算法的比較：

（1）前者收集的是頂點，適合稠密圖，而後者收集的是邊適合稀疏圖；

（2）kruskal演算法在效率上要比prim演算法快，因為kruskal只需要對權重邊做一次排序，而prim演算法則需要做多次排序。儘管prim演算法每次做的演算法涉及的權重邊不一定會涵蓋連通圖中的所有邊，但是隨著所使用的排序演算法的效率的提高，kruskal演算法和prim演算法之間的差異將會清晰的顯性出來。

最小生成樹 Prim演算法和Kruskal演算法

最小生成樹（prim演算法）

最小生成樹 Prim演算法

最小生成樹 prim 演算法

最小生成樹 Prim演算法和Kruskal演算法

最小生成樹（prim演算法）

最小生成樹 Prim演算法

最小生成樹 prim 演算法

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