最小生成樹 prim演算法和kruskal

前提：

生成樹是建立在無向圖的基礎上的，所以下面的討論都是在無向圖上進行的。

直觀的乙個應用就是：有n個村莊，現在要在這些村莊之間修一些路，其中村莊i和村莊j之間的距離是dij，現在要修最短的路使得所有村莊連線起來。

最小生成樹( mit )的經典解決方法有2種：prim演算法和kruskal演算法。

1.prim演算法

演算法思想：設圖g頂點集合為u，首先任意選擇圖g中的一點作為起始點a，將該點加入集合v，再從集合u-v中找到另一點b使得點b到v中任意一點的權值最小，此時將b點也加入集合v；以此類推，現在的集合v=，再從集合u-v中找到另一點c使得點c到v中任意一點的權值最小，此時將c點加入集合v，直至所有頂點全部被加入v，此時就構建出了一顆mst。因為有n個頂點，所以該mst就有n-1條邊，每一次向集合v中加入乙個點，就意味著找到一條mst的邊。

演算法需要3個陣列來實現：

arr[i][j]：存放點到點之間的權值，初始值為最大值，若是該兩點之間有邊則改變權值

a[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當a[i]=0說明以i為終點的邊的最小權值=0,也就是表示i點加入了mst

s[i]:表示對應a[i]的起點，即說明邊< s[i],i>是mst的一條邊，當s[i]=0表示起點i加入mst

例子：

任取一點作為起始點，假設選點 v1.

則 a[2]=6, a[3]=0, a[4]=5, a[5]=無窮，a[6]=無窮

s[2]=3, s[3]=0, s[4]=1, s[5]=1， a[6]=1 ,

可以看出 a[3] 的值最小，所以點 v3 加入mst，於是更新陣列：

a[2]=5, a[3]=0, a[4]=5,a[5]=6，a[6]=4

s[2]=3, s[3]=0, s[4]=1, s[5]=3，a[6]=3 ,

a[6]的值最小，所以點 v6加入 mst，更新陣列：

a[2]=5, a[3]=0, a[4]=2,a[5]=6，a[6]=0

s[2]=3, s[3]=0, s[4]=6, s[5]=3，a[6]=0 ,

a[4]的值最小，所以點 v4 加入 mst，更新陣列：

a[2]=5, a[3]=0, a[4]=0,a[5]=6，a[6]=0

s[2]=3, s[3]=0, s[4]=0, s[5]=3，a[6]=0 ,

a[2]陣列的值最小，所以點 v2 加入 mst，更新陣列：

a[2]=0, a[3]=0, a[4]=0,a[5]=3，a[6]=0

s[2]=0, s[3]=0, s[4]=0, s[5]=2，a[6]=0 ,

a[5]陣列的值最小，所以點 v5 加入 mst，更新陣列：

a[2]=0, a[3]=0, a[4]=0,a[5]=0，a[6]=0

s[2]=0, s[3]=0, s[4]=0, s[5]=0，a[6]=0 ,

所有的點都加入到了mst中，結束。

//最小生成樹演算法，輸出點路徑以及權值 
#include
using
namespace
std;
const
int maxn=1000;
const
int maxnum=100000;
int arr[maxn][maxn];
int a[maxn];
int s[maxn];
int n,m;
void prims(int begin)
s[begin]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
cout
<
>begin;
prims(begin);
return
0;} 
測試資料：610
1261
3114
5235
2533
4535
6364
4625663

結果：

2.kruskal演算法（使用並查集實現）

例子：

以圖為例，kruskal演算法的步驟：

取得權值最小的邊 v1 到 v3

在不構成乙個圈的情況下，取得權值次小的邊：v4 到 v6

實現**：

#include
#include
using
namespace
std;
const
int maxn=1000;
struct node
void kruskal()
}if(ans1)
sort(arr,arr+m); 
kruskal();
return
0;}

測試資料：

6 10

1 2 6

1 3 1

1 4 5

2 3 5

2 5 3

3 4 5

3 5 6

3 6 4

4 6 2

5 6 6

實驗結果：

最小生成樹 prim演算法和kruskal

最小生成樹（prim演算法）

最小生成樹 Prim演算法

最小生成樹 prim 演算法

最小生成樹 prim演算法和kruskal

最小生成樹（prim演算法）

最小生成樹 Prim演算法

最小生成樹 prim 演算法

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