開坑卷積……
這裡說一下莫比烏斯函式的定義：
定義兩個函式 f(
n),g
(n) 的狄利克雷卷積(
∗ )為： (f
∗g)(
n)=∑
d|nf
(d)g
(nd)
滿足交換律，結合律，分配律以及 f∗
e=f ，都挺顯然的。
這定義也是夠奇怪了，然後就可以搞很多事情： d(
n)=∑
d|n1
(d)1
(nd)
=(1∗
1)(n
)σ(n
)=∑d
|nid
(d)1
(nd)
=(id
∗1)(
n)e=
μ∗1
最後乙個很有用，詳細證明一下。設
n 的不同素因子個數為
k，則： ∑d
|nμ(
d)=∑
i=0k
(−1)
i(ki
) 也就是選
i 個不同的素因子乘起來，如果選了奇數個，那麼貢獻是 −1
，否則是
1 ，方案為 (k
i)。根據二項式展開： (x
+y)k
=∑i=
0kxi
yk−i
(ki)
代 x=
1,y=
−1進去，那麼： ∑i
=0k(
−1)i
(ki)
=(1−
1)k=
0k所以當 k=
0 即 n=
1 時，原式為
1 ，否則為
0。這就是單位函式的定義，得證。
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
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