題意：
翻譯成漢語，大概意思就是首先輸入乙個數t代表有t組樣例，每組樣例第一行m代表有m對（其中p為素數，每對中的p各不相同），計算得到全部pi^qi的乘積n，最後求一下∑d|n φ(d) × n / d的值取模998244353
思路： 由於p和q資料範圍是1e8，我們沒辦法求出全部p^q的乘積n（爆long long），只能想辦法化簡公式和通過中間過程來得到答案，又因為給出的∑d|n φ(d) × n / d包含求和，我們遍歷辣麼大的數的求和鐵定超時，所以還應該想辦法把公式化簡成o(1)的，也就是把求和給去掉
我們接著按照上面的需求想問題：
令函式f(n) = n，令h(n) = ∑d|n φ(d) × n / d，是不是發現了點什麼！！！對，h(n）是φ(n)與f(n)的狄利克雷卷積。由於φ(n)是尤拉函式，所以它是積性函式，f(n) = n是單位函式，所以它是完全積性函式，那麼h(n)一定也是積性函式，它滿足a,b互質，則h(a * b) = h(a) * h(b)的性質
又因為每對中的p都是不同的素數！！！因此每對pi^qi之間都是互質的，所以,我們就可以解決爆long long 問題：
h(n) = h(p1^q1 * p2^q2 * ... * pm^qm) = ∏ h(pi ^ qi) //i為從1～m 此時pi^qi也會爆long long，我們先別管繼續往下走
這時候∑d|n φ(d) × n / d就變成了求∑d|p^q φ(d) × p^q / d .我們需要通過化簡∑d|p^q φ(d) × p^q / d為o(1)來解決超時問題，怎麼化簡呢？手寫了乙份化簡過程：
我們就可以把h(p^q) = ∑d|p^q φ(d) × p^q / d 化簡為h(p^q) = p^q + q * p^(q - 1) * (p - 1)
這樣我們就可以通過h(n) = ∏ h(pi ^ qi)來求h(n)了（通過不斷的取餘998244353來防治爆longlong）
over～
**：
#include #include #include #define ll int64_t
#define d int32_t
#define f double
#define r return
#define mod 998244353
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define scanfd(a) scanf("%d", &a)
#define scanfl(a) scanf("%lld", &a)
#define printfl(a) printf("%lld\n", a)
#define for(i, star, endd) for (d i = star; i <= endd; i++)
#define forr(i, endd, star) for (d i = endd; i >= star; i--)
//快速冪
ll quick(ll a, ll b)
b >>= 1;
a = a * a % mod;
}r ans;
}d main ()
printfl(ans);
}r 0;
}
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
前置知識 1 常見的完全積性函式 恒等函式 i i n 1 單位函式 id id n n 元函式 epsilon epsilon n n 1 元函式卷積任何函式 f 都是 f 本身 2 常見積性函式 尤拉函式 varphi n 是小於n和n互質的自然數個數 莫比烏斯函式 mu n sigma sig...
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