狄利克雷卷積可以算是數論中的乙個比較重點的內容吧。
它有許多作用，例如證明莫比烏斯反演定理。
同時，它也是杜教篩等玄學演算法的基礎。
要學習狄利克雷卷積，就得先對積性函式有一定的了解。
關於積性函式可以看一下這篇部落格：關於積性函式的一些知識。
我們通常定義\(f*g=\sum_f(d)·g(\frac nd)\)。
與乘法類似，狄利克雷卷積也滿足三大運算律：交換律、結合律和分配律。
這應該還是比較顯然的，無需證明吧。
接下來，我們來看一下狄利克雷卷積的乙個應用：證明莫比烏斯反演定理。
真感覺用狄利克雷卷積來證明莫比烏斯反演定理也不是很難理解。
如果你不知道什麼是莫比烏斯反演定理，可以去看一下這篇部落格：初學莫比烏斯反演。
下面是關於它的證明：
由於莫比烏斯函式的性質，所以：
\[\sum_\mu(d)=[n==1]
\]而我們知道，有乙個叫做元函式的積性函式\(e(n)\)，它的定義是：
\[e(n)=[n==1]
\]不難發現，這兩個式子右邊是一樣的。
於是就容易想到用\(i\)去卷\(\mu\)，得到這樣乙個結論：
\[\mu*i=e
\]有了這個結論，下一步就是證明莫比烏斯反演定理了。
根據莫比烏斯反演中\(f(n)\)和\(f(d)\)兩個函式的定義，我們可知：
\[f(n)=\sum_f(d)
\]然後就不難想到把它轉換成狄利克雷卷積的形式，即：
\[f=f*i
\]\[f*\mu=f*i*\mu
\]然後就不難發現這樣做的意義了：等式右邊出現了\(\mu*i\)。而根據上面得到的結論，我們又可以知道，\(\mu*i=e\)，又由於\(f\)卷\(e\)之後依然為\(f\)，於是原式就被轉化成了這樣：
\[f*\mu=f
\]再將它轉化回來，就變成了這樣：
\[f(d)=\sum_\mu(d)·f(\frac nd)
\]於是就證明完了。
狄利克雷卷積其實還可以幹很多事情，如證明\(\phi\)函式的某些性質。
但是我對\(\phi\)函式還是不夠熟悉，所以這裡就不多介紹了。
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
前置知識 1 常見的完全積性函式 恒等函式 i i n 1 單位函式 id id n n 元函式 epsilon epsilon n n 1 元函式卷積任何函式 f 都是 f 本身 2 常見積性函式 尤拉函式 varphi n 是小於n和n互質的自然數個數 莫比烏斯函式 mu n sigma sig...
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