一、初中數學中函式概念的核心地位與概念的核心
函式是從數量關係的角度描述運動變化規律的數學概念，是從數學角度反映千變萬化的世界的重要模型。
從數學科學本身看，函式概念的產生是數學發展的重要里程碑。初等數學與高等數學的重要分界是：前者基本上是常量數學，而後者則主要是變數數學，而變數數學的主要研究物件基本上都是以函式形式呈現的。綜觀今日的數學，其中乙個重要的基礎分支數學分析的主要研究物件就是函式，其餘眾多分支中哪乙個又不是以相關函式作為重要內容呢？函式已成為整個數學的乙個核心概念。
從數學教育角度看，函式無疑也是中學數學課程的乙個核心概念。在學習函式概念之前，數學課程中基本是討論靜態的數學問題，教學中引入函式概念，不僅使討論內容增加了運動變化的問題，而且提供了居高臨下重新認識已學內容的觀點，使得中學生頭腦中的數學知識體系的得到擴大與提公升；對基本初等函式的學習，使中學生的數學思維更為活躍；函式圖象是使中學生體會數形結合的思想方法的典型範例；三角函式成為中學生研究三角形以及週期變化的重要工具；解析幾何中曲線的方程f(x,y)=0實際上是隱函式，它使中學生看到解析式與幾何圖形的密切聯絡；以討論函式變化率為基礎的初等微積分使學生初步掀開高等數學的面紗；概率密度等使中學生見識到函式在研究或然性問題時的作用……綜觀中學數學內容，乙個顯然的結論是：函式是個綱，綱舉目張。
學生第一次學習函式在初中階段。初中數學中要學習函式的概念、正反比例函式、一次函式、二次函式和銳角三角函式等，這些內容在初中數學中無論數量還是影響力都居於重要地位，函式概念是其中的基礎。
回顧函式概念的形成與發展歷程，可以發現，函式的產生來自研究變數的需要。早在17世紀，伽利略、笛卡爾等科學巨匠已注意到乙個變數對另乙個變數的依賴關係。牛頓、萊布尼茲創立微積分時雖未給函式下明確的定義，但實際上已形成對變數之間的對應關係的關注。18世紀時函式被認為是由變數x和常量構成的式子。約翰?貝努利對函式概念進行了定義：「由任一變數和常數的任一形式所構成的量。」 尤拉把約翰?貝努利給出的函式定義稱為解析函式，並進一步把它按照式子中含有的運算種類區分為代數函式和超越函式。19世紀時人們對函式的認識發展到強調對應關係。柯西給函式的定義是：「在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函式。」傅利葉發現函式也可以用曲線表示，也可以用式子表示，使對函式的認識跳出式子的限制。狄里克雷指出：「對於在某區間上的每乙個確定的x值，y都有確定的值，那麼y叫做x的函式。」當集合論在數學中占有重要地位之後，維布倫用「集合」之間的「對應」給出了近代函式定義，使得函式概念具有三個要素即對應關係、定義域及值域。20世紀後，現代函式概念──「集合之間的對映」方式定義形成，即「若存在集合m到n的乙個影射f，則稱在集合m上定義乙個函式，記為y=f(x)，其中x是m的任一元素，y是x在n中的像。」在古典分析中的函式概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關係。現代數學的發展卻要求建立兩個任意集合之間的某種對應關係。
現在初中所學的函式定義為：「在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，則稱x為自變數，y為x的函式。」分析這個定義對函式概念內涵的文字描述，可以發現它強調了近代函式定義中的「對應」，並且明確是「y對x是單值對應」，這又是吸收了現代函式概念中對「對映」的要求 ，但是沒有從「集合」角度描述函式，因而未明確涉及定義域及值域。由此可知，現在初中數學中的函式定義的核心，是函式概念三個要素中的對應關係，並且明確其為「單值對應」關係。
函式是乙個抽象概括程度很高的概念，學習它需要乙個逐步深入的理解過程，初中階段對它的認識是初步的。在沒有「集合」「對映」這些知識基礎時，對於函式的認識應該是通過一些具體例子，重點體會變數間的「單值對應」關係。例如，使用y=2x，y=3x+1，y=x2等正例，以及如
本次研討活動中，與會者對「函式是中學數學課程中的核心概念」和「初中數學中函式概念的核心是『單值對應』」取得基本一致的意見，至於在教學中如何使學生學好函式概念，則需要設計適合學生實際的方案，這將是不拘一格、見仁見智的。
二、資訊科技工具的使用提高函式圖象的教學效果
利用函式圖象的直觀性，認識函式的性質，是研究函式的一種途徑，它體現了數形結合這一重要的數學思想和方法。
正比例函式y=kx(k是常數，
三、一象限；當k<0時，直線從左向右經過第
二、四象限。這個規律中包含了兩個內容：①正比例函式圖象的形狀(一條直線)；②正比例函式圖象的位置(經過原點和兩個象限)。
描點法作函式y=kx的圖象的步驟是：先描出若干個點；再將描出的點連成平滑曲線。實際作圖中，無論描出多少個點，點的個數都是有限多的。這就產生了乙個疑問：僅由有限多個描出的點在同一直線上，就能確定所有點都在這一直線上嗎？要解答這個問題，顯然不能靠實際畫圖，而要靠邏輯推理。推理的過程大體為：先過點o(0,0)和p(l,k)作直線l，再進行兩方面的推導，即①l上的任意一點q的座標(x,y)滿足關係y=kx；②座標滿足關係y=kx的任意一點m(x,y)在l上。
為什麼人教版教科書沒有對正比例函式圖象的形狀進行嚴格的推理呢？可以看出：第一，這樣的推理涉及曲線與方程關係中的純粹性和完備性兩個方面，而對於初中學生來說這些較難理解；第二，這樣的推理要利用相似形的知識，而相似形是初中幾何中靠後面的內容，如把正比例函式安排在相似形後面，則在初中數學教材體系中函式內容的出現有些過遲。因此，教科書採用了前面所說的用不完全歸納法引出正比例函式圖象的形狀。這種不完全歸納法包括兩重意思：①由描出的滿足y=2x(或y=-2x)的某些(特殊)點在同一直線上，引出滿足y=2x(或y=-2x)的所有(一般)點在同一直線上；②由y=2x和y=-2x這些的具體(特殊)的正比例函式的圖象是直線，引出抽象(一般)的正比例函式y=kx的圖象是直線。很明顯，這種歸納雖是一種認識方式，但不是嚴謹的推理方式。在當前的初中實際教學中，要提高學生對正比例函式圖象是直線的信度，就要增加所觀察的特殊物件的數量，即對具體函式y=2x(或y=-2x)要盡可能多描出一些點，對y=kx中的k要盡可能多取一些具體值並作相應函式的圖象。但是，這樣做無疑在教學過程中又會占用較多時間和精力，影響教學效率。如何解決這個矛盾呢？
本次課題研究活動中，授課教師的做法啟發我們：利用資訊科技工具，可以較為有效地解決上述問題。利用計算機的計算和作圖功能，不占用很多時間就可以做到：①描出很多滿足某個正比例函式的離散的點，使這些點排列得很稠密，從而提高對這個函式的圖象是一條直線的信度；②對
計算機輔助教學的乙個突出優點是加強了直觀性，這對於學習抽象內容有很大幫助。然而，培養抽象思維能力也是數學學習的一項任務。數學教學中並非只要直觀，不要抽象。雖然，利用計算機可以更有效地引導學生認識正比例函式圖象的形狀及位置，使學生能一目了然地看到具體的正比例函式圖象；但是，教學中不應讓學生的認識僅僅停留在觀察、猜想階段，還應適當上公升到推理的層次，當然這種推理必須是學生可接受的。例如，關於正比例函式圖象的位置，雖然可以從具體函式的圖象中觀察，但是仍有必要讓學生考慮這樣的問題：為什麼正比例函式的圖象一定經過原點？當k>0時，為什麼函式y=kx的圖象只經過第
三、一象限？當k<0時，為什麼函式y=kx的圖象只經過第
二、四象限？……這樣的思考對學生來說難度並不大，而且會使學生的認識得到深化。
綜上所述，在教學中我們應處理好特殊與一般、具體與抽象的關係，使它們能有機的結合，以利於學習知識與發展思維。為此，我們應結合數學課程的內容和特點，對計算機輔助教學進行更深入的研究，更好地發揮計算機具有的快速、直觀、多變、生動等教學作用，使其更好地為數學教學服務。
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
前置知識 1 常見的完全積性函式 恒等函式 i i n 1 單位函式 id id n n 元函式 epsilon epsilon n n 1 元函式卷積任何函式 f 都是 f 本身 2 常見積性函式 尤拉函式 varphi n 是小於n和n互質的自然數個數 莫比烏斯函式 mu n sigma sig...
狄利克雷過程
官方定義 令 表示乙個可測的引數空間，描述某乙個類別的引數。令h是空間 上的乙個概率測度，表示乙個正實數。對於空間 上的任意乙個有限分割 如果空間 上的乙個隨機概率分布g在這個分割中各部分上的測度服從乙個狄利克雷分布 那麼我們就稱隨機概率分布g 服從狄利克雷過程，記為 我們把 叫做集中度引數，把h叫...
狄利克雷卷積
積性函式 f 和 g 狄利克雷卷積的形式 f ast g n sum limits f d g frac 或者 f ast g n sum limits f i g j 它滿足證明 f ast g ast h sum limits sum limits f d g frac h frac 等同於 f...