1、積性函式：對於函式$f(n)$，若滿足對任意互質的數字a,b，a*b=n且$f(n)=f(a)f(b)$，那麼稱函式f為積性函式。顯然f(1)=1。
2、狄利克雷卷積：對於函式f,g,定義它們的卷積為$(f*g)(n)=\sum_f(d)g(\frac)$。
3、兩個積性函式的狄利克雷卷積仍為積性函式。
證明：設f,g的狄利克雷卷積為h，即$h(n)=\sum_f(d)g(\frac)$,設n=a*b,a或b為1時顯然成立，下面證明a和b均不為1
設$n=p_^}p_^}...p_^},a=p_^}p_^}...p_^},b=p_^}p_^}...p_^}$
其中$m\geq 2,1\leq k\leq m-1$
$h(n)=\sum_f(d)g(\frac)$
$h(a)=\sum_f(d1)g(\frac)$
$h(b)=\sum_f(d2)g(\frac)$
首先h(n)等號右側有$\prod_^(\alpha _+1)$項，h(a)等號右側有$\prod_^(\alpha _+1)$項,h(b)等號右側有$\prod_^(\alpha _+1)$項,，所以h(n)和h(a)h(b)的項數是一樣的。
其次，對於h(n)右側的每一項，設某一項為f(x)g(y)，
$x=p_^}p_^}...p_^}$,
$y=p_^}p_^}...p_^}$,
一定存在$x=p_^+\gamma _}p_^+\gamma _}...p_^+\gamma _}$,$y=p_^+\gamma _}p_^+\gamma _}...p_^+\gamma _}$，使得f(x)是h(a)右側的項，g(y)是h(b)右側的項，由於f,g都是積性函式，那麼f(x)g(y)=f(x)g(y)。
因此，h(n)=h(a)h(b)。
4、尤拉函式是積性函式。
設$n=p_^}p_^}...p_^},a=p_^}p_^}...p_^},b=p_^}p_^}...p_^}$,
那麼$\varphi (n)=n\prod_^(1-\frac})$,
$\varphi (a)=a\prod_^(1-\frac})$,
$\varphi (b)=b\prod_^(1-\frac})$,
由於n=ab，顯然$\varphi (n)=\varphi (a)\varphi (b)$
5、莫比烏斯函式($\mu$)是積性函式。由莫比烏斯函式的定義，分1，-1，0討論就好。
6、莫比烏斯反演：對於函式f(n)和f(n)，若$f(n)=\sum_f(d)$，那麼$f(n)=\sum_\mu (d)f(\frac)$。
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
前置知識 1 常見的完全積性函式 恒等函式 i i n 1 單位函式 id id n n 元函式 epsilon epsilon n n 1 元函式卷積任何函式 f 都是 f 本身 2 常見積性函式 尤拉函式 varphi n 是小於n和n互質的自然數個數 莫比烏斯函式 mu n sigma sig...
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狄利克雷卷積 是定義在數論函式間的一種二元運算，可以定義為 f g n sum limits f x g y 或 f g n sum limits f d g frac 若 f,g 均為積性函式，則 f g 也是積性函式。顯然 f g 1 f 1 g 1 1 設 n perp m 則 begin f...