卡特蘭數的簡單介紹

應國老師邀請，寫了一篇關於卡特蘭數的部落格。如有謬誤，敬請同學們指出！——ggn 2017.12.9

其實我並不是很了解卡塔蘭數的一些性質，我不得不承認這並不是一篇很好的部落格。。

下周一月考，因為寫部落格耗費了大量時間，被我奶教育了。。（還有很多沒寫完的內容，敬請諒解）

在下文中出現這些符號將不再定義它們的含義：cm

n=n!

(n−m

)!m!

=cm−

1n−1

+cmn

−1：表示組合數，表示從n個不同的物品中選出乙個元素個數為m的子集的總方案數。∑n

k=1f

(k)=

f(1)

+f(2

)+..

+f(n

) ：表示求和。hi

：表示卡塔蘭數的第

i 項，本文中的卡塔蘭數的下標統一從1開始，但我看到的大多數材料中的卡塔蘭數的下標都是從0開始的（這是本文的乙個不太好的地方）。

卡塔蘭數的增長較快，實驗表明，用long long只能儲存卡塔蘭數的前36位。hn

=∑i=

1n−1

hihn

−i:n

>1h

1=1

int h(int n)

return ans;
}

n!) 。

#define maxn (16384+1)

long
long h[maxn];
int vis[maxn];//實現記憶化，保證每個資料只計算一次
long
long h(int n)
}return h[n];
}

#define maxn (16384+1)

long
long h[maxn];
void solve(int n)}}

n2) 。hn

+1=1

n+1⋅

cn2n

=cn2

n−cn

−12n

hn=hn−1

×4n−

6n（感謝高楊大神提供的o(

n)的先進遞推方式！）

#define maxn (100+1)

long
long h[maxn];
void solve(int n)
}

乙個長度為2n

的「01串」，其中包括n個0，n個1。要求這個序列的任意長度的字首中包含「1」的數目大於等於「0」的數目。求這樣的序列的個數，其個數即為hn

+1。2.模擬網格中的移動

在乙個n×n

的網格中，只允許向右和向上走，並且只允許走網格的下半部分（即橫座標大於等於縱座標的部分），從左下角走到右上角的方案數。這個方案數為hn

在所有x=y

的位置上發現了卡塔蘭數。

洛谷： p1044 棧

洛谷： p1722 矩陣 ii

[2017.12.28] 引用（著名業餘）數學家費馬的一句話

「我已經發現了一種極其巧妙的證明方法證明它（「它」指費馬大定理），可惜這裡空白地方太小（還有就是我太懶了），不下。」　——皮耶·德·費馬

↑ 這張揭示了卡塔蘭數線性遞推證明的全部奧秘，待腦洞大開的同學們去探索、追尋。。

p.s. : 大約2023年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖（diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：「將乙個立方數分成兩個立方數之和，或乙個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將乙個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。」

（拉丁文原文: 「cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. hanc marginis exiguitas non caperet.」）

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