」張正友標定」是指張正友教授2023年提出的單平面棋盤格的攝像機標定方法[1]。文中提出的方法介於傳統標定法和自標定法之間，但克服了傳統標定法需要的高精度標定物的缺點，而僅需使用乙個列印出來的棋盤格就可以。同時也相對於自標定而言，提高了精度，便於操作。因此張氏標定法被廣泛應用於計算機視覺方面。
根據之前部落格介紹的攝像機模型，設三維世界座標的點為x=
[x,y
,z,1
]t，二維相機平面畫素座標為m=
[u,v
,1]t
，所以標定用的棋盤格平面到影象平面的單應性關係為： s
0m=k
[r,t
]x
其中s為尺度因子，k為攝像機內引數，r為旋轉矩陣，t為平移向量。令 k=
⎡⎣⎢α
00γβ
0u0v
01⎤⎦
⎥ 注意，s對於齊次座標來說，不會改變齊次座標值。張氏標定法中，將世界座標繫狗仔在棋盤格平面上，令棋盤格平面為z=0的平面。則可得 s⎡
⎣⎢uv
1⎤⎦⎥
=k[r
1r2r
3t]⎡
⎣⎢⎢⎢
xy01
⎤⎦⎥⎥
⎥=k[
r1r2
t]⎡⎣
⎢xy1
⎤⎦⎥
我們把k[r1, r2, t]叫做單應性矩陣h，即 s⎡
⎣⎢uv
1⎤⎦⎥
=h⎡⎣
⎢xy1
⎤⎦⎥h
=[h1
h2h3
]=λk
[r1r
2t]
h是乙個齊次矩陣，所以有8個未知數，至少需要8個方程，每對對應點能提供兩個方程，所以至少需要四個對應點，就可以算出世界平面到影象平面的單應性矩陣h。
由上式可得 λ
=1sr
1=1λ
k−1h
1r2=
1λk−
1h2
由於旋轉矩陣是個酉矩陣，r1和r2正交，可得 rt
1r2=
0||r
1||=
||r2
||=1
代入可得： ht
1k−t
k−1h
2=0h
t1k−
tk−1
h1=h
t2k−
tk−1
h2
即每個單應性矩陣能提供兩個方程，而內引數矩陣包含5個引數，要求解，至少需要3個單應性矩陣。為了得到三個不同的單應性矩陣，我們使用至少三幅棋盤格平面的進行標定。通過改變相機與標定板之間的相對位置來得到三個不同的。為了方便計算，定義如下： b=
k−tk
−1=⎡
⎣⎢b11
b21b31
b12b22
b32b13
b23b33
⎤⎦⎥=
⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢1
α2−γ
α2βv
0γ−u
0βα2
β−γα
2βγ2
α2β2
+1β2
−γ(v
0γ−u
0β)α
2β2−
v0β2
v0γ−
u0βα
2β−γ
(v0γ
−u0β
)α2β
2−v0
β2(v
0γ−u
0β)2
α2β2
+v0β
2+1⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
可以看到，b是乙個對稱陣，所以b的有效元素為六個，讓這六個元素寫成向量b，即 b=
[b11b
12b22b
13b23b
33]t
可以推導得到 ht
ibhj
=vti
jbvi
j=[h
i1hj
1hi1
hj2+
hi2h
j1hi
2hj2
hi3h
j1+h
i1hj
3hi3
hj2+
hi2h
j3hi
3hj3
]t
利用約束條件可以得到： [v
t12(v
11−v22
)t]b
=0
通過上式，我們至少需要三幅包含棋盤格的影象，可以計算得到b，然後通過cholesky分解，得到相機的內引數矩陣k。
由之前的推導，可得 λ
=1s=
1∥a−
1h1∥
=1∥a
−1h2
∥r1=
1λk−
1h1r
2=1λ
k−1h
2r3=
r1×r
2t=λ
k−1h
3 上述的推導結果是基於理想情況下的解，但由於可能存在高斯雜訊，所以使用最大似然估計進行優化。設我們採集了n副包含棋盤格的影象進行定標，每個影象裡有棋盤格角點m個。令第i副影象上的角點mj在上述計算得到的攝像機矩陣下影象上的投影點為： m
^(k,
ri,t
i,mi
j)=k
[r|t
]mij
其中ri和ti是第i副圖對應的旋轉矩陣和平移向量，k是內引數矩陣。則角點mij的概率密度函式為： f(
mij)
=12π
−−√e
−(m^
(k,r
i,ti
,mij
)−mi
j)2σ
2 構造似然函式： l(
a,ri
,ti,
mij)
=∏i=
1,j=
1n,m
f(mi
j)=1
2π−−
√e−∑
ni=1
∑mj=
1(m^
(k,r
i,ti
,mij
)−mi
j)2σ
2 讓l取得最大值，即讓下面式子最小。這裡使用的是多引數非線性系統優化問題的levenberg-marquardt演算法[2]進行迭代求最優解。 ∑i
=1n∑
j=1m
∥m^(
k,ri
,ti,
mij)
−mij
∥2
張氏標定法只關注了影響最大的徑向畸變。則數學表示式為： u
^=u+
(u−u
0)[k
1(x2
+y2)
+k2(
x2+y
2)2]
v^=v
+(v−
v0)[
k1(x
2+y2
)+k2
(x2+
y2)2
] 其中，(u,v)是理想無畸變的畫素座標，(u
^,v^
) 是實際畸變後的畫素座標。(u0,v0)代表主點，(x,y)是理想無畸變的連續影象座標，(x
^,y^
) 是實際畸變後的連續影象座標。k1和k2為前兩階的畸變引數。 u^
=u0+
αx^+
γy^v
^=v0
+βy^
化作矩陣形式： [(
u−u0
)(x2
+y2)
(v−v
0)(x
2+y2
)(u−
u0)(
x2+y
2)2(
v−v0
)(x2
+y2)
2][k
1k2]
=[u^
−uv^
−v]
記做： dk
=d
則可得： k=
[k1k
2]t=
(dtd
)−1d
td
計算得到畸變係數k。
使用最大似然的思想優化得到的結果，即像上一步一樣，lm法計算下列函式值最小的引數值： ∑
i=1n
∑j=1
m∥m^
(k,k
1,k2
,ri,
ti,m
ij)−
mij∥
2 到此，張氏標定法介紹完畢。我們也得到了相機內參、外參和畸變係數。
1、zhang, zhengyou - 《ieee transactions on pattern analysis & machine intelligence》 - 20002、j.more.thelevenberg-marquardtalgorithm,implementationandtheory.ing.a.watson,
editor,numericalanalysis,lecturenotesinmathematics630.springer-verlag,1977.
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