攝像機標定 張正友標定推導詳解

這裡直接拿上篇博文的結果，中間省去了其它座標系直接的關係，直接給出，如下所示：

公式如下：

為了和張正友教授的**相統一，現在把公式符號統一一下。

第一點: 旋轉向量r為正交矩陣，所以又以下的性質：

第二點: 就是s。它是尺度因子，它的出現只是為了方便運算，而且對於齊次座標，尺度因子不會改變座標值。

剛開始不知道**中homography不知道是何方神聖，搜尋到了最後這番解釋：

因為張氏標定是一種基於平面棋盤格的標定，所以想要搞懂張氏標定，首先應該從兩個平面的單應性(homography)對映開始著手。

單應性(homography)： 在計算機視覺中被定義為乙個平面到另乙個平面的投影對映。首先看一下，影象平面與標定物棋盤格平面的單應性。

分析：

h 是乙個3x3的矩陣，並且有乙個元素作為齊次座標。因此，h有8個未知量待解 ( 可以分析一下，a有5個未知量，後面的[r1,r2,t]有三個未知量，一共8個) 。

(x,y)作為標定物的座標，可以由設計者人為控制，是已知量。(u,v)是畫素座標，我們可以直接通過攝像機獲得。一組對應的(x,y) => (u,v)我們可以獲得兩組方程。

現在有8個未知量待求，所以至少要8個方程。所以至少需要4組對應的點。所以有4組 (x,y) => (u,v)就可以算出，影象平面到世界平面的單應性矩陣h，這也是張正友標定採用四個角點的棋盤作為標定物的乙個原因 (？不知道是否正確) 。

從step1可知，應用4個點我們可以獲得單應性矩陣h。但是h是內參陣和外參陣的合體。我們想要最終分別獲得內參和外參。所以需要想個辦法，先把內參求出來。然後外參也就隨之解出了。

上式中的h1,h2是通過求解單應性矩陣h求出來的，所以未知量只剩下內參矩陣a。a中含有5個引數，如果需要完全解出來這5個未知量，則需要3個不同的單應性矩陣h( 因為3個不同的單應性矩陣h在2個約束條件下可以產生6個方程) ， 那麼如何得到3個不同的單應性矩陣h呢？ 那就是 3張不同的標定平面的**， 我們大多是通過改變攝像機與標定板間的相對位置來獲得不同的標定**。( 如果用2張**進行標定，就要捨去乙個內參r=0)

當然這只是張正友標定法不斷變換標定板方位的第乙個原因。第二個原因是張正友提到的最大似然估計( maximum-likelihood estimation )( 這個我還得學習 ) 。

現在開始數學課了：

首先令

可以看出矩陣b是乙個對稱矩陣，有效的元素只有6個，所以令乙個6維的向量b，然後簡化公式( 就是那兩個約束條件 )

將運算的結果帶入到兩個約束條件中，可得到方程組：

英文部分也提出了3張的作用 ( 不懂的可以再看看前面的分析 )

應用上述公式解出b後，就得到了b，在進行cholesky分解就可以得到攝像機內參矩陣a。

已經有了內參矩陣a，通過下面的公式，就可以解出來，外參矩陣了。

以上就是張正友標定法的數學原理和推導，但是張正友自己也說這沒有啥實際的物理意義，只是為後面的極大似然引數估計提供初值。而張正友標定中用於提高標定精度的極大似然演算法，我也在研究當中，希望以後可以發一篇部落格。

小弟才疏學淺，如有錯誤，希望大家糾正指導。

張正友標定推導詳解

下面著重來講一下著名的張正友標定法。這裡直接拿上篇博文的結果，中間省去了其它座標系直接的關係，直接給出，如下所示 公式如下 為了和張正友教授的 相統一，現在把公式符號統一一下。第一點 旋轉向量r為正交矩陣，所以又以下的性質 第二點 就是s。它是尺度因子，它的出現只是為了方便運算，而且對於齊次座標，尺...

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